数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦)、指数関数、差、極限、テイラーの公式、剰余項の評価

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題20の解答を求めてみる。

20. 
    
    $\begin{array}{l}\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+R_5\left(x\right)\\ \frac{\sin x}{x}=1-\frac{1}{3!}{x}^2+\frac{R_5\left(x\right)}{x}\\ \left|\frac{R_5\left(x\right)}{x}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|x\right|}^4}{5!}\\ e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ e^{-x}=1-x+\frac{1}{2!}{x}^2-\frac{1}{3!}{x}^3+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ e^x-e^{-x}=2x+\frac{2}{3!}{x}^3+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \frac{e^x-e^{-x}}{x}=2+\frac{2}{3!}{x}^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\sin x}{e^x-e^{-x}}=\frac{1}{2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Limit, exp, sin

print('20.')

x = symbols('x', real=True)
f = sin(x) / (exp(x) - exp(-x))

for dir in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=dir)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(sin(x), exp(x) - exp(-x), f,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color


p.show()
p.save('sample20.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample20.py
20.
     ⎛ sin(x) ⎞
 lim ⎜────────⎟
x─→0⁺⎜ x    -x⎟
     ⎝ℯ  - ℯ  ⎠

1/2

     ⎛ sin(x) ⎞
 lim ⎜────────⎟
x─→0⁻⎜ x    -x⎟
     ⎝ℯ  - ℯ  ⎠

1/2


C:\Users\...>