数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 自然対数の底(ネイピア数、オイラー数)、小数、階乗、近似

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題16の解答を求めてみる。

16. 
    
    $\begin{array}{l}{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ e=1+1+\frac{1}{2!}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ 3!=6\\ 4!=24\\ 5!=120\\ 6!=720\\ 7!=5040\\ 8!=40320\\ 9!=362880\\ 10!=3628800\\ 11!=39916800\\ 12!=479001600\\ 13!=6227020800\\ \frac{1}{14!}<10^{-10}\end{array}$

    よって、求める自然対数の底（ネイピア数、オイラー数）の小数10位までの有理数の和は、

    $\underset{n=0}{\overset{13}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n!}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, E, summation

print('16.')

k, n = symbols('k, n', integer=True)
f = summation(1 / factorial(k), (k, 0, n))
for i in range(15):
    a = f.subs({n: i})
    for o in [a, float(a)]:
        pprint(o)
        print()

pprint(float(E))

p = plot(E, *[f.subs({n: i}) for i in range(4, 14)],
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample16.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample16.py
16.
    ⎛     -1⎞    
- ℯ⋅⎝1 - ℯ  ⎠ + ℯ

1.0

    ⎛       -1⎞    
- ℯ⋅⎝1 - 2⋅ℯ  ⎠ + ℯ

2.0

    ⎛       -1⎞    
  ℯ⋅⎝2 - 5⋅ℯ  ⎠    
- ───────────── + ℯ
        2          

2.5

    ⎛        -1⎞    
  ℯ⋅⎝6 - 16⋅ℯ  ⎠    
- ────────────── + ℯ
        6           

2.6666666666666665

    ⎛         -1⎞    
  ℯ⋅⎝24 - 65⋅ℯ  ⎠    
- ─────────────── + ℯ
         24          

2.7083333333333335

    ⎛           -1⎞    
  ℯ⋅⎝120 - 326⋅ℯ  ⎠    
- ───────────────── + ℯ
         120           

2.716666666666667

    ⎛            -1⎞    
  ℯ⋅⎝720 - 1957⋅ℯ  ⎠    
- ────────────────── + ℯ
         720            

2.7180555555555554

    ⎛              -1⎞    
  ℯ⋅⎝5040 - 13700⋅ℯ  ⎠    
- ──────────────────── + ℯ
          5040            

2.7182539682539684

    ⎛                -1⎞    
  ℯ⋅⎝40320 - 109601⋅ℯ  ⎠    
- ────────────────────── + ℯ
          40320             

2.71827876984127

    ⎛                 -1⎞    
  ℯ⋅⎝362880 - 986410⋅ℯ  ⎠    
- ─────────────────────── + ℯ
           362880            

2.7182815255731922

    ⎛                   -1⎞    
  ℯ⋅⎝3628800 - 9864101⋅ℯ  ⎠    
- ───────────────────────── + ℯ
           3628800             

2.7182818011463845

    ⎛                      -1⎞    
  ℯ⋅⎝39916800 - 108505112⋅ℯ  ⎠    
- ──────────────────────────── + ℯ
            39916800              

2.718281826198493

    ⎛                        -1⎞    
  ℯ⋅⎝479001600 - 1302061345⋅ℯ  ⎠    
- ────────────────────────────── + ℯ
            479001600               

2.7182818282861687

    ⎛                          -1⎞    
  ℯ⋅⎝6227020800 - 16926797486⋅ℯ  ⎠    
- ──────────────────────────────── + ℯ
             6227020800               

2.718281828446759

    ⎛                            -1⎞    
  ℯ⋅⎝87178291200 - 236975164805⋅ℯ  ⎠    
- ────────────────────────────────── + ℯ
             87178291200                

2.7182818284582297

2.718281828459045


C:\Users\...>