数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(余弦)、指数関数、積、次数、一意性定理

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題15-(c)の解答を求めてみる。

15. 
    
    3. 
       
       $\begin{array}{l}\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4\\ e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4\end{array}$

       よって、求める問題の関数、余弦と指数関数の積の4次のテイラー多項式は、

       $\begin{array}{l}1+x+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)x^2+\left(-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\right)x^3+\left(\frac{1}{4!}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4!}\right)x^4\\ =1+x-\frac{1}{3}{x}^3+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\right)x^4\\ =1+x-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{6}{x}^4\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, cos, exp

print('15-(c).')

x = symbols('x')

f = cos(x) * exp(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(5)])

pprint(g)

p = plot(cos(x), exp(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample15.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample15.py
15-(c).
   4    3        
  x    x         
- ── - ── + x + 1
  6    3         

C:\Users\...>