学習環境
- Surface、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題4の解答を求めてみる。
点 A の座標を(a, b)とおく。
このとき、
また、
よって、 点 A に おける放物線の接線の傾きは
よって、 法線の傾きは
よって、 法線の方程式は、
放物線とこの法線との交点 B を求める。
よって、線分 AB の長さの2乗は、
a について微分。
よって、線分 AB の長さが最小になる点A の位置は、
また、その最小値は
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Rational, Derivative, solve, plot, sqrt print('4.') x, a = symbols('x, a') f = x ** 2 g = -1 / (2 * a) * x + Rational(1, 2) + a ** 2 h = (4 * x ** 2 + 1) ** 3 / (16 * x ** 4) h1 = Derivative(h, x, 1) for o in [h1, h1.doit().factor(), solve(h1.doit(), x)]: pprint(o) print() p = plot(f, *[g.subs({a: sign * a0}) for a0 in [1, 1 / sqrt(2), 2 / sqrt(2)] for sign in [-1, 1]], h, (x, -5, 5), ylim=(0, 10), legend=False, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample4.png')
入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
C:\Users\...>py sample4.py 4. ⎛ 3⎞ ⎜⎛ 2 ⎞ ⎟ d ⎜⎝4⋅x + 1⎠ ⎟ ──⎜───────────⎟ dx⎜ 4 ⎟ ⎝ 16⋅x ⎠ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎝2⋅x - 1⎠⋅⎝4⋅x + 1⎠ ────────────────────── 5 4⋅x ⎡-√2 √2 -ⅈ ⅈ⎤ ⎢────, ──, ───, ─⎥ ⎣ 2 2 2 2⎦ C:\Users\...>
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