数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 平均値の定理(放物線、接線、垂直、法線、線分の長さ、最小値)

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題4の解答を求めてみる。

点 A の座標を(a, b)とおく。

このとき、

$\begin{array}{l} a \neq 0 \\ b = a^{2} \end{array}$

また、

$\frac{dy}{dx} = 2 x$

よって、点 A における放物線の接線の傾きは

$2 a$

よって、法線の傾きは

$- \frac{1}{2 a}$

よって、法線の方程式は、

$\begin{array}{l} y = - \frac{1}{2 a} (x - a) + b \\ = - \frac{1}{2 a} x + \frac{1}{2} + a^{2} \end{array}$

放物線とこの法線との交点 B を求める。

$\begin{array}{l} x^{2} = - \frac{1}{2 a} x + \frac{1}{2} + a^{2} \\ x^{2} + \frac{1}{2 a} x - \frac{1}{2} - a^{2} = 0 \\ (x - a) (x + \frac{1}{2 a} + a) = 0 \\ B = (- \frac{1}{2 a} - a, {(\frac{1}{2 a} + a)}^{2}) \end{array}$

よって、線分 AB の長さの2乗は、

$\begin{array}{l} A B^{2} = {(a + \frac{1}{2 a} + a)}^{2} + {(a^{2} - {(\frac{1}{2 a} + a)}^{2})}^{2} \\ = {(\frac{4 a^{2} + 1}{2 a})}^{2} + {(a^{2} - {(\frac{1 + 2 a^{2}}{2 a})}^{2})}^{2} \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{2}}{4 a^{2}} + {(a^{2} - \frac{{(1 + 2 a^{2})}^{2}}{4 a^{2}})}^{2} \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{2}}{4 a^{2}} + {(\frac{4 a^{4} - 1 - 4 a^{2} - 4 a^{4}}{4 a^{2}})}^{2} \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{2}}{4 a^{2}} + {(\frac{4 a^{2} + 1}{4 a^{2}})}^{2} \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{2}}{4 a^{2}} (1 + \frac{1}{4 a^{2}}) \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{2}}{4 a^{2}} \cdot \frac{4 a^{2} + 1}{4 a^{2}} \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{3}}{16 a^{4}} \end{array}$

a について微分。

$\begin{array}{l} \frac{d}{d a} A B^{2} \\ = \frac{3 {(4 a^{2} + 1)}^{2} 8 a \cdot 16 a^{4} - {(4 a^{2} + 1)}^{3} \cdot 64 a^{3}}{{(16 a^{4})}^{2}} \\ = \frac{3 {(4 a^{2} + 1)}^{2} 4^{3} \cdot 2 a^{5} - {(4 a^{2} + 1)}^{3} \cdot 4^{3} a^{3}}{4^{4} a^{8}} \\ = \frac{3 {(4 a^{2} + 1)}^{2} \cdot 2 a^{2} - {(4 a^{2} + 1)}^{3}}{4 a^{5}} \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{2} (6 a^{2} - 4 a^{2} - 1)}{4 a^{5}} \\ = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{2} (2 a^{2} - 1)}{4 a^{5}} \end{array}$

よって、線分 AB の長さが最小になる点A の位置は、

$(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$

また、その最小値は

$\begin{array}{l} \sqrt{\frac{{(4 \cdot \frac{1}{2} + 1)}^{3}}{16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}} \\ = \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot \frac{1}{2}} \\ = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, Derivative, solve, plot, sqrt

print('4.')
x, a = symbols('x, a')
f = x ** 2
g = -1 / (2 * a) * x + Rational(1, 2) + a ** 2
h = (4 * x ** 2 + 1) ** 3 / (16 * x ** 4)
h1 = Derivative(h, x, 1)
for o in [h1, h1.doit().factor(), solve(h1.doit(), x)]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, *[g.subs({a: sign * a0})
              for a0 in [1, 1 / sqrt(2), 2 / sqrt(2)]
              for sign in [-1, 1]],
         h,
         (x, -5, 5),
         ylim=(0, 10),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  ⎛          3⎞
  ⎜⎛   2    ⎞ ⎟
d ⎜⎝4⋅x  + 1⎠ ⎟
──⎜───────────⎟
dx⎜       4   ⎟
  ⎝   16⋅x    ⎠

                     2
⎛   2    ⎞ ⎛   2    ⎞ 
⎝2⋅x  - 1⎠⋅⎝4⋅x  + 1⎠ 
──────────────────────
            5         
         4⋅x          

⎡-√2   √2  -ⅈ   ⅈ⎤
⎢────, ──, ───, ─⎥
⎣ 2    2    2   2⎦


C:\Users\...>

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2019年6月23日日曜日

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