2019年6月23日日曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題4の解答を求めてみる。


  1. 点 A の座標を(a, b)とおく。

    このとき、

    a 0 b = a 2

    また、

    dy dx = 2 x

    よって、 点 A に おける放物線の接線の傾きは

    2 a

    よって、 法線の傾きは

    - 1 2 a

    よって、 法線の方程式は、

    y = - 1 2 a x - a + b = - 1 2 a x + 1 2 + a 2

    放物線とこの法線との交点 B を求める。

    x 2 = - 1 2 a x + 1 2 + a 2 x 2 + 1 2 a x - 1 2 - a 2 = 0 x - a x + 1 2 a + a = 0 B = - 1 2 a - a , 1 2 a + a 2

    よって、線分 AB の長さの2乗は、

    A B 2 = a + 1 2 a + a 2 + a 2 - 1 2 a + a 2 2 = 4 a 2 + 1 2 a 2 + a 2 - 1 + 2 a 2 2 a 2 2 = 4 a 2 + 1 2 4 a 2 + a 2 - 1 + 2 a 2 2 4 a 2 2 = 4 a 2 + 1 2 4 a 2 + 4 a 4 - 1 - 4 a 2 - 4 a 4 4 a 2 2 = 4 a 2 + 1 2 4 a 2 + 4 a 2 + 1 4 a 2 2 = 4 a 2 + 1 2 4 a 2 1 + 1 4 a 2 = 4 a 2 + 1 2 4 a 2 · 4 a 2 + 1 4 a 2 = 4 a 2 + 1 3 16 a 4

    a について微分。

    d d a A B 2 = 3 4 a 2 + 1 2 8 a · 16 a 4 - 4 a 2 + 1 3 · 64 a 3 16 a 4 2 = 3 4 a 2 + 1 2 4 3 · 2 a 5 - 4 a 2 + 1 3 · 4 3 a 3 4 4 a 8 = 3 4 a 2 + 1 2 · 2 a 2 - 4 a 2 + 1 3 4 a 5 = 4 a 2 + 1 2 6 a 2 - 4 a 2 - 1 4 a 5 = 4 a 2 + 1 2 2 a 2 - 1 4 a 5

    よって、線分 AB の長さが最小になる点A の位置は、

    ± 1 2 , 1 2

    また、その最小値は

    4 · 1 2 + 1 3 16 · 1 2 2 = 3 3 4 · 1 2 = 3 3 2

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, Derivative, solve, plot, sqrt

print('4.')
x, a = symbols('x, a')
f = x ** 2
g = -1 / (2 * a) * x + Rational(1, 2) + a ** 2
h = (4 * x ** 2 + 1) ** 3 / (16 * x ** 4)
h1 = Derivative(h, x, 1)
for o in [h1, h1.doit().factor(), solve(h1.doit(), x)]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, *[g.subs({a: sign * a0})
              for a0 in [1, 1 / sqrt(2), 2 / sqrt(2)]
              for sign in [-1, 1]],
         h,
         (x, -5, 5),
         ylim=(0, 10),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  ⎛          3⎞
  ⎜⎛   2    ⎞ ⎟
d ⎜⎝4⋅x  + 1⎠ ⎟
──⎜───────────⎟
dx⎜       4   ⎟
  ⎝   16⋅x    ⎠

                     2
⎛   2    ⎞ ⎛   2    ⎞ 
⎝2⋅x  - 1⎠⋅⎝4⋅x  + 1⎠ 
──────────────────────
            5         
         4⋅x          

⎡-√2   √2  -ⅈ   ⅈ⎤
⎢────, ──, ───, ─⎥
⎣ 2    2    2   2⎦


C:\Users\...>

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