2019年6月25日火曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題5の解答を求めてみる。


  1. f ' a < 0 f ' b > 0 γ = 0

    と仮定する。

    f x

    が閉区間

    a , b

    の a で最小値をとると仮定すると、

    f ' a 0

    となり矛盾。

    よって、 a で最小値をとらない。

    b で最小値をとると仮定すると、

    f ' b 0

    となり矛盾。

    よって、 b で最小値をとらない。

    ゆえに、 f は開区間

    a , b

    の ある点 c で最小値をとる。

    このとき、

    f ' c = 0 = γ

    ゆえに問題のことは成り立つ。

    最初の仮定以外の場合。

    f x - γ x

    という 関数 について。

    d dx f x - γ x = f ' x - γ f ' a - γ < γ - γ < f ' b - γ f ' a - γ < 0 < f ' b - γ

    よって、 開区間

    a , b

    のある点 c が存在して、

    f ' c - γ = 0 f ' c = γ

    ゆえに、問題の c は存在する。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, Derivative, solve, plot

print('5.')
x = symbols('x')
f = x ** 2
a = -2
b = 3
gamma = 1
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
for o in [f, f1]:
    pprint(o)
    print()

xs = solve(f1 - gamma)
pprint(xs)
c = xs[0]

p = plot(f, f1, f1.subs({x: c}) * (x - c) + f.subs({x: c}),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
 2
x 

2⋅x

[1/2]

C:\Users\...>

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