数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像に対応する行列(通常の基底、回転して得られる座標系、恒等写像)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像と行列)、2(線形写像に対応する行列)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}& \sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\\ -\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}& \cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\end{array}$
   2. 
      
      $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$
   3. 
      
      $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
   4. 
      
      $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
   5. 
      
      $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$
   6. 
      
      $\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$
   7. 
      
      $\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, sin, cos, pi, symbols, Matrix

print('2.')

theta = symbols('θ')
m = Matrix([[cos(theta), sin(theta)],
            [-sin(theta), cos(theta)]])

for i, t in enumerate([pi / 2, pi / 4, pi, -pi, -pi / 3, pi / 6, 5 * pi / 4]):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(m.subs({theta: t}))
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
(a)
⎡0   1⎤
⎢     ⎥
⎣-1  0⎦

(b)
⎡ √2   √2⎤
⎢ ──   ──⎥
⎢ 2    2 ⎥
⎢        ⎥
⎢-√2   √2⎥
⎢────  ──⎥
⎣ 2    2 ⎦

(c)
⎡-1  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -1⎦

(d)
⎡-1  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -1⎦

(e)
⎡     -√3 ⎤
⎢1/2  ────⎥
⎢      2  ⎥
⎢         ⎥
⎢√3       ⎥
⎢──   1/2 ⎥
⎣2        ⎦

(f)
⎡ √3      ⎤
⎢ ──   1/2⎥
⎢ 2       ⎥
⎢         ⎥
⎢      √3 ⎥
⎢-1/2  ── ⎥
⎣      2  ⎦

(g)
⎡-√2   -√2 ⎤
⎢────  ────⎥
⎢ 2     2  ⎥
⎢          ⎥
⎢ √2   -√2 ⎥
⎢ ──   ────⎥
⎣ 2     2  ⎦


C:\Users\...>