2019年5月29日水曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、4(行列式の存在)、練習問題11の解答を求めてみる。


  1. c 1 e α 1 t + + c n e α n t = 0

    がすべての t について成り立つとする。

    このとき、

    c i i < n

    が 0ではないと仮定する。

    このとき、

    0 c n e α i t = - c 1 e α 1 t + + c n - 1 e α n t c 1 e α 1 t + + c i - 1 e α i - 1 t + c i + 1 e α i + 1 t + + c n e α n t 0

    よって、

    c 1 = = c t - 2 = c i + 1 = = c n = 0

    ではない。

    よって帰納的に、

    c i 0 i = 1 , , n

    上記の関係式を次々と微分し、次の連立方程式を考える。

    c 1 e α 1 t + + c n e α n t = 0 c 1 α 1 n - 1 e α 1 t + + c n α n n - 1 e α n t = 0

    係数の行列式、

    det [ c 1 c n c 1 α 1 n · 1 c n α n n - 1 ]

    について、連立方程式はすでにのもの値について成り立つので、0でなければならない。

    ところが、

    det [ c 1 c n c 1 α 1 n - 1 c n α n n - 1 ] = c 1 c n i < j α j - α i

    は0ではない。

    よって 矛盾。

    ゆえに、

    c 1 = = c n = 0

    となり、問題の関数は複素数の上で1次独立である。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, exp

print('11.')

t = symbols('t')
eq = [symbols(f'c{i}') * exp(symbols(f'a{i}') * t) for i in range(1, 6)]

pprint(solve(eq))

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.
[{c₁: 0, c₂: 0, c₃: 0, c₄: 0, c₅: 0}]

C:\Users\...>

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