数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 2項展開(累乗根、展開式の剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、7(2項展開)の練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\left|R_2\right|\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left|\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-\frac{1}{2}\right)\right|{\left(1+c\right)}^{\frac{1}{4}-1}{\left|0.01\right|}^2\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{8}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-4}\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\left|R_2\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{8}{\left|0.2\right|}^2\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\left|R_2\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{8}·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left|0.1\right|}^2\\ =\frac{1}{8}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, root, plot, Rational

print('5.')

x = symbols('x')
f = root(1 + x, 4)
g = 1 + x / 4
xs = [0.01, 0.2, 0.1]
rs = [Rational(1, 8) * 10 ** -4,
      Rational(1, 2) * 10 ** -2,
      Rational(1, 8) * 10 ** -2]

for i, (x0, r) in enumerate(zip(xs, rs)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    print(abs((f - g).subs({x: x0})) <= r)

p = plot(f, g, (x, -0.2, 0.2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
(a)
True
(b)
True
(c)
True

C:\Users\...>