数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 級数(収束・発散の判定、比較定理)

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   1. 
      

      問題の級数

      $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{27}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->$

      を

      $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{27}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->$

      と 比較すると、 対応する頃は前者の方が後者に等しかまたはそれより大きく、 かつ後者の級数は

      $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->$

      であるから発散する。

      よって比較定定理より、問題の級数は発散する。

   2. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{1}{n\left(n+1\right)}\\ =\frac{1}{n^2+n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n^2}\end{array}$

      また、 級数

      $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^2}$

      に収束するので、 比較定理より、問題の級数は収束する。

   3. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\\ =\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{n}\end{array}$

      また、級数

      $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n}$

      は発散する。

      よって、収較定理より、問題の級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt

print('1.')

n = symbols('n', integer=True)

ans = [1 / (2 * n - 1), 1 / (n * (n + 1)), 1 / sqrt(n * (n + 1))]

for i, an in enumerate(ans, 1):
    print(f'({i})')
    for o in [an, summation(an, (n, 1, oo))]:
        pprint(o)
        print()

memo = [0]


def s(n):
    t = memo[n - 1] + 1 / sqrt(n * (n + 1))
    memo.append(t)
    return t


plt.plot([n0 for n0 in range(1, 21)],
         [s(n0) for n0 in range(1, 21)],
         marker='o')
# plt.show()
plt.savefig('sample1.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
(1)
   1   
───────
2⋅n - 1

∞

(2)
    1    
─────────
n⋅(n + 1)

1

(3)
      1      
─────────────
  ___________
╲╱ n⋅(n + 1) 

  ∞                
 ____              
 ╲                 
  ╲         1      
   ╲  ─────────────
   ╱    ___________
  ╱   ╲╱ n⋅(n + 1) 
 ╱                 
 ‾‾‾‾              
n = 1              


C:\Users\...>

SymPyで無限級数の収束、発散の判定がうまくできない場合があるみたい。平方根(累乗根)があるとうまく判定できないのかも。