2019年5月13日月曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題2の解答を求めてみる。


  1. 問題の仮定より、問題の級数は正項級数である。


    rが1未満のとき。

    0 < r < b < 1

    となる b が存在する。

    また、ある N が存在し、 n が N 以上ならば、

    a n + 1 a n b a n + 1 a n b

    が成り立つ。

    よって、

    n N a n a n - 1 b a n - 2 b 2 a N b n - N

    が成り立つ。ここで、 等比数列の級数

    p = 1 b n - N

    は収束するので、比較定理より

    n = 1 a n


    は収束する。

    r が1より大きいとき。

    1 < b < r

    を満たす b が存在し、 ある N が存在し、N 以上のn に対して、

    n N a n + 1 a n b a n + 1 a n b a n a n - 1 b a n - 2 b 2 a N b n - N

    等比級数

    n = 1 b n - N

    は発散するので、比較定理より、

    n = 1 a n

    は発散する。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt

print('2.')


def a(n):
    if n == 1:
        return 1
    return a(n - 1) / 1.1


def b(n):
    if n == 1:
        return 1
    return 1.1 * b(n - 1)


def s(n, a):
    return sum([a(i) for i in range(1, n + 1)])


plt.plot([n for n in range(1, 21)],
         [s(n, a) for n in range(1, 21)],
         [n for n in range(1, 21)],
         [s(n, b) for n in range(1, 21)],
         marker='o')
# plt.show()
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.

C:\Users\...>

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