数学 - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(和、定数倍、指数、多項式、積)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      

      問題の仮定より、十分小さいすべての x に対して、

      $\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->C_1{\left|x\right|}^n\\ \left|g\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->C_2{\left|x\right|}^n\end{array}$

      が成り立つので、

      $\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)+g\left(x\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|f\left(x\right)\right|+\left|g\left(x\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->C_1{\left|x\right|}^n+C_2{\left|x\right|}^n\\ =\left(C_1+C_2\right){\left|x\right|}^n\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{l}f\left(x\right)+g\left(x\right)=O\left(x^n\right)\\ \left(x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0\right)\end{array}$

      が成り立つ。

      また、定数倍について、

      $\begin{array}{l}\left|Kf\left(x\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|K\right|\left|f\left(x\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|K\right|C{\left|x\right|}^n\\ =\left(\left|K\right|C\right){\left|x\right|}^n\end{array}$

      すなわち

      $\begin{array}{l}Kf\left(x\right)=O\left(x^n\right)\\ \left(x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\left|x\right|<1\\ \left|x^n\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left|x\right|}^m\\ x^n=O\left(x^m\right)\\ \left(x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0\right)\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|f\left(x\right)\right|\left|g\left(x\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->C_1{\left|x\right|}^n{C}_2{\left|x\right|}^m\\ =\left(C_1{C}_2\right){\left|x\right|}^{n+m}\\ f\left(x\right)g\left(x\right)=O\left(x^{n+m}\right)\\ \left(x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0\right)\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}f\left(x\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->P\left(x\right)+C_1{\left|x\right|}^{n+1}\\ g\left(x\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->Q\left(x\right)+C_2{\left|x\right|}^{n+1}\\ f\left(x\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->P\left(x\right)Q\left(x\right)+P\left(x\right)C_2{\left|x\right|}^{n+1}+Q\left(x\right)C_1{\left|x\right|}^{n+1}+C_1{C}_2{\left|x\right|}^{2n+2}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->P\left(x\right)Q\left(x\right)+C_3{\left|x\right|}^{n+1}+C_4{\left|x\right|}^{n+1}+C_5\left|x\right|+C_6{\left|x\right|}^{n+1}\\ =P\left(x\right)Q\left(x\right)+C{\left|x\right|}^{n+1}\\ f\left(x\right)=P\left(x\right)Q\left(x\right)+O\left(x^{n+1}\right)\\ \left(x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0\right)\end{array}$