2019年5月12日日曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題4の解答を求めてみる。



    1. 問題の仮定より、十分小さいすべての x に対して、

      f x C 1 x n g x C 2 x n

      が成り立つので、

      f x + g x f x + g x C 1 x n + C 2 x n = C 1 + C 2 x n

      よって、

      f x + g x = O x n x 0

      が成り立つ。

      また、定数倍について、

      K f x K f x K C x n = K C x n

      すなわち

      K f x = O x n x 0

    2. x < 1 x n x m x n = O x m x 0

    3. f x g x f x g x C 1 x n C 2 x m = C 1 C 2 x n + m f x g x = O x n + m x 0

    4. f x P x + C 1 x n + 1 g x Q x + C 2 x n + 1 f x P x Q x + P x C 2 x n + 1 + Q x C 1 x n + 1 + C 1 C 2 x 2 n + 2 P x Q x + C 3 x n + 1 + C 4 x n + 1 + C 5 x + C 6 x n + 1 = P x Q x + C x n + 1 f x = P x Q x + O x n + 1 x 0

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