数学 - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(拡大実数系、実数列、集合の上限と下限、正の無限大、負の無限大、上極限、等式)

解析入門(上)
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ \inf \left\{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_3,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\right\}\end{array}$

    の場合。

    任意の k に対し、

    ${\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_k=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

    よって、 任意の N に対して、

    $\begin{array}{l}n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\\ a_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

    または

    $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

    が成り立つ。

    よって、

    $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

    が成り立つ。

    $\begin{array}{l}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ \inf \left\{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_3,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\right\}=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

    の場合。

    $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

    または、ある k が存在して

    ${\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_k=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

    よって

    $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

    が成り立つ。

    $\begin{array}{l}-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ -\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}<\inf \left\{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_3,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\right\}<\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

    の場合。

    定義より、

    ${\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{n+1}$

    なので単調減少で下に有界なので極限をもち、その極限は、

    $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n=\inf \left\{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_3,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\right\}=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

    よって、

    $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

    が成り立つ.

    （証明終）