2019年5月29日水曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(関数の極限と連続性)、3.1(関数の極限)、問題5の解答を求めてみる。


  1. にも題の関数 f が

    x

    のとき収束し、その極限を a とする。

    このとき、 任長の

    ε > 0

    に付し、ある M が存在し、

    x > M f x - a < ε 2 x ' > M f x ' - a < ε 2

    が成り立つ。

    よって、

    x > M , x ' > M

    ならば

    f x - f x ' = f x - a + a - f x ' f x - a + a - f x ' = f x - a + f x ' - a < ε 2 + ε 2 = ε

    よって、必要条件である。

    逆について。

    a n a lim n a n = +

    となる数列を考える。

    ある自然数 N が存在して、

    n N a n > M

    が成り立つ。

    よって、

    n N , m N

    ならば、

    a n M , a n M

    ゆえに、

    f a n - f a m < ε

    すなわち、

    f a n

    はコーシー列である。

    ゆえに、有限の極限

    lim n f a n = a

    が存在する。

    したがって、定理4(b)より、

    lim x f x = a

    が成り立つ。

    ゆえに、十分条件である。

    以上が、 必要分条件である。

    (証明終)

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