数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成(ベクトル空間、同形写像、合成、可逆)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   u を U の任意の元とする。

   このとき、 ある W の元 w が存在して、

   $\begin{array}{l}G\left(w\right)=u\\ G^{-1}\left(u\right)=w\end{array}$

   また、 V のある元 v が存在して

   $\begin{array}{l}F\left(v\right)=w\\ F^{-1}\left(w\right)=v\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}{F}^{-1}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->G^{-1}\left(u\right)\\ =F^{-1}\left(G^{-1}\left(u\right)\right)\\ =F^{-1}\left(w\right)\\ =v\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{l}\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(v\right)\\ =G\left(F\left(v\right)\right)\\ =G\left(w\right)\\ =u\end{array}$

   より、

   ${\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)}^{-1}\left(u\right)=v$

   よって、

   ${\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)}^{-1}=F^{-1}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->G^{-1}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('4.')

x = symbols('x')
f = 2 * x
g = x / 5
f1 = x / 2
g1 = 5 * x
fg1 = f1.subs({x: g1})

p = plot(f, g, f1, g1, fg1,
         ylim=(-10, 10),
         show=False, legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.

C:\Users\...>