数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成(ベクトル空間の間の同型写像)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(u+v\right)\\ =G\left(F\left(u+v\right)\right)\\ =G\left(F\left(u\right)+F\left(v\right)\right)\\ =G\left(F\left(u\right)\right)+G\left(F\left(v\right)\right)\\ =\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(u\right)+\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(v\right)\\ \left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(cv\right)\\ =G\left(F\left(cv\right)\right)\\ =G\left(cF\left(v\right)\right)\\ =cG\left(F\left(v\right)\right)\\ =c\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(v\right)\end{array}$

   よって、 線形写像の合成写像は線形写像である。

   $\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(u\right)=\left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(v\right)$

   とする。

   このとき

   $G\left(F\left(u\right)\right)=G\left(F\left(v\right)\right)$

   G は同形写像、すなわち単射なので、

   $F\left(u\right)=F\left(v\right)$

   F も同様で、

   $u=v$

   よって合成写像は単射である。

   また、 U の任意の元 u に対して、 G は月形写像、すなわち全射なので、ある W の元 w が存在して

   $G\left(w\right)=u$

   にも同様で、

   $F\left(v\right)=w$

   よって、

   $\begin{array}{l}G\left(F\left(v\right)\right)=u\\ \left(G\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->F\right)\left(v\right)=u\end{array}$

   ゆえに合成写像は全射である。

   したがって合成写像は全単射である

   以上より、合成写像も同形写像である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('5.')

x = symbols('x')
f = 2 * x
g = -3 * x
gf = g.subs({x: g})

p = plot(f, g, gf,
         ylim=(-10, 10),
         show=False, legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.

C:\Users\...>