数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 逆正接関数(円周率の近似)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、6(逆正接関数)の練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}\arctan \frac{1}{2}\\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^3}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^5}-\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^7}+\frac{1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^9}-\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{11}}+\frac{1}{13·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{13}}-\frac{1}{15·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{15}}+\frac{1}{17·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{17}}+R_{18}\\ \left|R_{18}\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{19}·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left(\frac{1}{2}\right)}^{19}\\ <4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-6}\\ \arctan \frac{1}{3}\\ =\frac{1}{3}-\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^3}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^5}-\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^7}+\frac{1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^9}-\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^{11}}+\frac{1}{13·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^{13}}+R_{14}\\ \left|R_{14}\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{15}·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left(\frac{1}{3}\right)}^{15}\\ <4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-6}\end{array}$

   計算はプログラムに任せることに。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, atan, Rational, pi

print('3.')


def f(x, n):
    return sum([(-1) ** (k - 1) * x ** (2 * k - 1) / (2 * k - 1)
                for k in range(1, n + 1)])


a = 4 * (atan(Rational(1, 2)) + atan(Rational(1, 3)))
b = 4 * (f(Rational(1, 2), 9) + f(Rational(1, 3), 7))

for o in [pi, a, b]:
    for s in [o, float(o)]:
        pprint(s)
        print()
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
π

3.141592653589793


4⋅atan(1/3) + 4⋅atan(1/2)

3.141592653589793


13964621526980227
─────────────────
 4445076601405440

3.14159299809702



C:\Users\...>