数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数(平方、置換積分法、積分、近似、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題11-(c)の解答を求めてみる。

11. 
    
    3. 
       

       置換積分法。

       $\begin{array}{l}t=x^2\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=2x\\ x=0,t=1\\ x=1,x=1\\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{e}^{\left(x^2\right)}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{e^t}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ e^t=1+t+\frac{1}{2!}{t}^2+\frac{1}{3!}{t}^3+\frac{1}{4!}{t}^4+\frac{1}{5!}{t}^5+R_6\left(t\right)\\ R_6\left(t\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->e·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{t^6}{6!}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{t^6}{6!}=\frac{t^6}{240}\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{l}\frac{e^t}{\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt{t}+\frac{1}{2!}t\sqrt{t}+\frac{1}{3!}{t}^2\sqrt{t}+\frac{1}{4!}t\sqrt[3]{t}+\frac{1}{5!}t\sqrt[4]{t}+\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\\ \left|\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{240}t\sqrt[5]{t}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{e^t}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ ={\left[\sqrt{t}+\frac{1}{3}t\sqrt{t}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2!}{t}^2\sqrt{t}+\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}t\sqrt[3]{t}+\frac{1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}t\sqrt[4]{t}+\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}t\sqrt[5]{t}\right]}_0^1\\ +\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\mathrm{dt}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{13}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{240}\\ =\frac{1}{13·\; <!--\; middle\; dot\; -->240}\\ <10^{-3}\end{array}$

       したがって、求める積分の小数第3位までの値は、

       $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2!}+\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}+\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Integral, Rational

print('11-(c).')

x = symbols('x')
f = exp(x ** 2)
If = Integral(f, (x, 0, 1))
y = sum([1 / ((2 * k + 1) * factorial(k)) for k in range(6)])
g = Rational(1, 2) * \
    sum([1 / ((2 * k + 1) * factorial(k)) * x ** Rational(2 * k - 1, 2)
         for k in range(6)])

for o in [If, If.doit(), float(If.doit()), float(y), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, y,
         (x, 0, 5),
         ylim=(0, 5),
         show=False, legend=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11-(c).
1         
⌠         
⎮  ⎛ 2⎞   
⎮  ⎝x ⎠   
⎮ ℯ     dx
⌡         
0         

√π⋅erfi(1)
──────────
    2     

1.4626517459071815

1.4625300625300626

 9/2    7/2    5/2    3/2            
x      x      x      x      √x    1  
──── + ──── + ──── + ──── + ── + ────
2640   432     84     20    6    2⋅√x


C:\Users\...>