数学 - Python - 解析学 - 数 - 複素数(絶対値の差、差の絶対値、等式の証明)

解析入門(上)
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.5(複素数)、問題5を取り組んでみる。

5. 
   
   $\begin{array}{}\left|\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|+\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\\ \left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|+\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\\ \left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|-\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\\ \left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|-\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\\ \left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|-\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->-\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\\ \left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|-\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->-\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}-\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|-\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\\ \left|\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|-\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\end{array}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, sqrt

print('5.')

# 上手くいかず
a, b = symbols('a, b', imag=True)
l = abs(abs(a) - abs(b))
r = abs(a - b)

for o in [l, r, (l - r).expand() >= 0]:
    pprint(o)
    print()


# 実数で構築
a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', real=True)
alpha = a + b * I
beta = c + d * I

l = abs(abs(alpha) - abs(beta))
r = abs(alpha - beta)
for o in [l, r, (l - r) >= 0]:
    pprint(o)
    print()

l = sqrt(sqrt(a ** 2 + b ** 2) - sqrt(c ** 2 + d ** 2))
r = sqrt((a - c) ** 2 + (b - d) ** 2)

for o in [l, r, (l - r).expand() >= 0]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample5.py
5.
││a│ - │b││

│a - b│

-│a - b│ + ││a│ - │b││ ≥ 0

│   _________      _________│
│  ╱  2    2      ╱  2    2 │
│╲╱  a  + b   - ╲╱  c  + d  │

   ___________________________________
  ╱  2            2            2    2 
╲╱  a  - 2⋅a⋅c + b  - 2⋅b⋅d + c  + d  

     ___________________________________   │   _________      _________│    
    ╱  2            2            2    2    │  ╱  2    2      ╱  2    2 │    
- ╲╱  a  - 2⋅a⋅c + b  - 2⋅b⋅d + c  + d   + │╲╱  a  + b   - ╲╱  c  + d  │ ≥ 0

    _____________________________
   ╱    _________      _________ 
  ╱    ╱  2    2      ╱  2    2  
╲╱   ╲╱  a  + b   - ╲╱  c  + d   

   _____________________
  ╱        2          2 
╲╱  (a - c)  + (b - d)  

    _____________________________                                             
   ╱    _________      _________       ___________________________________    
  ╱    ╱  2    2      ╱  2    2       ╱  2            2            2    2     
╲╱   ╲╱  a  + b   - ╲╱  c  + d    - ╲╱  a  - 2⋅a⋅c + b  - 2⋅b⋅d + c  + d   ≥ 0


C:\Users\...>