数学 - Python - 解析学 - 数 - 複素数(絶対値、不等式の証明、共役、除算、分数)

解析入門(上)
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.5(複素数)、問題8を取り組んでみる。

8. 
   
   $\begin{array}{}{\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|}^2\\ =\frac{{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}{{\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\stackrel{-}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)}}\\ =\frac{\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}\\ =\frac{{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ \left(1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)-\left({\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\\ =1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2-{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\\ =\left(1-{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2\right)\left(1-{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\right)\\ >0\\ {\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|}^2<1\end{array}$

   よって、

   $\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|<1$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols,  pprint, I, Rational, sqrt
import random

print('8.')

alpha = Rational(1, 3) + sqrt(3) / 2 * I
beta = 1 / sqrt(2) + 1 / (2 * sqrt(2)) * I
z = (alpha - beta) / (1 - alpha.conjugate() * beta)
for o in [z, abs(z), float(abs(z))]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
8.
    √2   1   √2⋅ⅈ   √3⋅ⅈ  
  - ── + ─ - ──── + ────  
    2    3    4      2    
──────────────────────────
    ⎛1   √3⋅ⅈ⎞ ⎛√2   √2⋅ⅈ⎞
1 - ⎜─ - ────⎟⋅⎜── + ────⎟
    ⎝3    2  ⎠ ⎝2     4  ⎠

    _________________
   ╱   √6   √2   107 
  ╱  - ── - ── + ─── 
╲╱     4    3     72 
─────────────────────
    _________________
   ╱   √6   √2   443 
  ╱  - ── - ── + ─── 
╲╱     4    3    288 

0.940948669874474


C:\Users\...>