数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成(有限同次元の2つのベクトル空間、同形)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   ベクトル空間 V、 W の基底をそれぞれ、

   $\begin{array}{l}\left\{v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n\right\}\\ \left\{u_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,u_n\right\}\end{array}$

   とする。
   このとき、

   $F\left(v_1\right)=u_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,F\left(v_n\right)=u_n$

   となる V から w への線形写像 F が存在し、

   $\begin{array}{l}v=x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n\\ F\left(v\right)=O\\ F\left(x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n\right)=O\\ x_{1}F\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}F\left(v_n\right)=O\\ x_1{u}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{u}_n=O\\ x_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=x_n=0\end{array}$

   となるので、 F の核は

   $\ker F=\left\{O\right\}$

   よって、 F は同形写像である。

   ゆえに、 K 上の有限同次元のベクトル空間 V、 Wは同形である。

   （証明終）