2019年4月25日木曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題6の解答を求めてみる。


  1. ベクトル空間 V、 W の基底をそれぞれ、

    v 1 , , v n u 1 , , u n

    とする。
    このとき、

    F v 1 = u 1 , , F v n = u n

    となる V から w への線形写像 F が存在し、

    v = x 1 v 1 + + x n v n F v = O F x 1 v 1 + + x n v n = O x 1 F v 1 + + x n F v n = O x 1 u 1 + + x n u n = O x 1 = = x n = 0

    となるので、 F の核は

    ker F = O

    よって、 F は同形写像である。

    ゆえに、 K 上の有限同次元のベクトル空間 V、 Wは同形である。

    (証明終)

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