数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 写像(楕円の写像による像、包含関係)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像の乗法)、練習問題8の解答を求めてみる。

$(x, y)$

を問題の楕円上の点とする。

$u = \frac{x}{3}, v = \frac{y}{4}$

とおくと、

$x = 3 u, y = 4 v$

楕円上の点であることから

$\begin{array}{l} \frac{{(3 u)}^{2}}{9} + \frac{{(4 v)}^{2}}{16} = 1 \\ u^{2} + v^{2} = 1 \end{array}$

よって、点

$(u, v)$

は半径1の円の円周上の点である。

ゆえに楕円の F による像は半径1の円の部分集合である。

また、

$(u, v)$

を半径1の円上の任意の点とする。

このとき、

$x = 3 u, y = 4 v$

とおくと、

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

となるので楕円上の点である。

よって、半径1の円の上の任意の点は楕円上の点のFによる像に含まれる点である。

ゆえに、楕円の写像 F による像は、半径1の円

$x^{2} + y^{2} = 1$

である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot
from sympy.plotting import plot_parametric

# x軸とy軸の比率を一対一にするのに必要
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.figsize'] = (6, 8)

print('8.')

x, y = symbols('x, y')
ys = solve(x ** 2 / 9 + y ** 2 / 16 - 1, y)
pprint(ys)

p = plot(*ys,
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

x1 = -3
x2 = 3
p.extend(plot_parametric(*[(x / 3, y0 / 4, (x, x1, x2)) for y0 in ys],
                         legend=True,
                         show=False))
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample8.py
8.
⎡      __________        __________⎤
⎢     ╱    2            ╱    2     ⎥
⎢-4⋅╲╱  - x  + 9    4⋅╲╱  - x  + 9 ⎥
⎢─────────────────, ───────────────⎥
⎣        3                 3       ⎦

C:\Users\...>

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2019年3月1日金曜日

数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 写像(楕円の写像による像、包含関係)

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