数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 回転体の体積(逆数、x軸の周りに回転してできる立体の体積、極限、収束、発散、広義積分)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、回転体の体積の練習問題16の解答を求めてみる。

16. 
    
    $\begin{array}{}\underset{a}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{y}^2\mathrm{dx}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\underset{a}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{x^2}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{\left[-x^{-1}\right]}_a^1\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}(\frac{1}{a}-1)\\ \underset{a\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\left(\frac{1}{a}-1\right)=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

    よって、 発散し、極限は存在しない。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, plot, Limit, sqrt

x, a = symbols('x, a')
f = 1 / x
x1, x2 = a, 1

I = Integral(pi * f ** 2, (x, x1, x2))
V = I.doit()
l = Limit(V, a, 0)
for o in [I, V, l, l.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

x0 = 0
x1 = 1
x2 = 2
p = plot((f, (x, x0, x1)),
         (f, (x, x1, x2)),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample16.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample16.py
1      
⌠      
⎮ π    
⎮ ── dx
⎮  2   
⎮ x    
⌡      
a      

     π
-π + ─
     a

     ⎛     π⎞
 lim ⎜-π + ─⎟
a─→0⁺⎝     a⎠

∞


C:\Users\...>