2019年3月24日日曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(c)の解答を求めてみる。



    1. 置換積分法。

      t = x 2 dt dx = 2 x x = 0 , t = 0 x = 1 , t = 1 x = t 0 1 sin x 2 dy = 1 2 0 1 sin t t dt

      テイラー の公式。

      sin t = t - t 3 3 ! + R 5 t R 5 t t 5 5 !

      よって、

      sin t t = t 1 2 - t 5 2 3 ! + R 5 t t R 5 t t t 9 2 5 !

      ゆえに、

      1 2 0 1 sin t t dt = 1 3 t 3 2 - 1 7 · 1 3 ! t 7 2 0 1 + 1 2 0 1 R 5 t t dt

      かつ

      1 2 0 1 R 5 t t dt 1 2 0 1 1 5 ! t 9 2 dt = 1 2 2 11 · 5 ! t 15 2 0 1 = 1 11 · 5 ! < 1 1000

      よって、 求める積分の小数第3位までの値は、

      1 3 - 1 7 · 3 ! + 1 11 · 5 ! = 1 3 - 1 7 · 3 ! + 1 11 · 5 ! = 7 · 11 · 5 ! - 3 · 11 · 5 · 4 + 21 3 · 7 · 11 · 5 ! = 9240 - 660 + 21 27720 = 8601 27720 = 0.310 . . .

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, Integral, plot, Rational, factorial

print('11-(c).')

x = symbols('x')
f = sin(x ** 2)
i = Integral(f, (x, 0, 1))
g = Rational(1, 3) * x ** Rational(3, 2) - Rational(1, 7) * \
    1 / factorial(3) * x ** Rational(7, 2)

for o in [i, i.doit(), float(i.doit()), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, (x, -2, 2), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(c).
1           
⌠           
⎮    ⎛ 2⎞   
⎮ sin⎝x ⎠ dx
⌡           
0           

                ⎛√2⎞       
3⋅√2⋅√π⋅fresnels⎜──⎟⋅Γ(3/4)
                ⎝√π⎠       
───────────────────────────
          8⋅Γ(7/4)         

0.3102683017233811

   7/2    3/2
  x      x   
- ──── + ────
   42     3  


C:\Users\...>

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