数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦と余弦、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
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• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}\left|\cos x\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\\ \left|R_n\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left|x\right|}^n}{n!}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{{\left|x\right|}^n}{n!}=0\end{array}$

   正弦について。

   $\begin{array}{}\left|\sin x\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\\ \left|R_n\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left|x\right|}^n}{n!}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{{\left|x\right|}^n}{n!}=0\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, factorial, Derivative, plot

x = symbols('x')
for n in range(10):
    r1 = Derivative(cos(x), x, n) / factorial(n) * x ** n
    r2 = Derivative(sin(x), x, n) / factorial(n) * x ** n
    for r in [r1, r2]:
        for o in [r, r.doit()]:
            pprint(o)
            print()
        print()
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample2.py
cos(x)

cos(x)


sin(x)

sin(x)



  d         
x⋅──(cos(x))
  dx        

-x⋅sin(x)


  d         
x⋅──(sin(x))
  dx        

x⋅cos(x)



     2        
 2  d         
x ⋅───(cos(x))
     2        
   dx         
──────────────
      2       

  2        
-x ⋅cos(x) 
───────────
     2     


     2        
 2  d         
x ⋅───(sin(x))
     2        
   dx         
──────────────
      2       

  2        
-x ⋅sin(x) 
───────────
     2     



     3        
 3  d         
x ⋅───(cos(x))
     3        
   dx         
──────────────
      6       

 3       
x ⋅sin(x)
─────────
    6    


     3        
 3  d         
x ⋅───(sin(x))
     3        
   dx         
──────────────
      6       

  3        
-x ⋅cos(x) 
───────────
     6     



     4        
 4  d         
x ⋅───(cos(x))
     4        
   dx         
──────────────
      24      

 4       
x ⋅cos(x)
─────────
    24   


     4        
 4  d         
x ⋅───(sin(x))
     4        
   dx         
──────────────
      24      

 4       
x ⋅sin(x)
─────────
    24   



     5        
 5  d         
x ⋅───(cos(x))
     5        
   dx         
──────────────
     120      

  5        
-x ⋅sin(x) 
───────────
    120    


     5        
 5  d         
x ⋅───(sin(x))
     5        
   dx         
──────────────
     120      

 5       
x ⋅cos(x)
─────────
   120   



     6        
 6  d         
x ⋅───(cos(x))
     6        
   dx         
──────────────
     720      

  6        
-x ⋅cos(x) 
───────────
    720    


     6        
 6  d         
x ⋅───(sin(x))
     6        
   dx         
──────────────
     720      

  6        
-x ⋅sin(x) 
───────────
    720    



     7        
 7  d         
x ⋅───(cos(x))
     7        
   dx         
──────────────
     5040     

 7       
x ⋅sin(x)
─────────
   5040  


     7        
 7  d         
x ⋅───(sin(x))
     7        
   dx         
──────────────
     5040     

  7        
-x ⋅cos(x) 
───────────
    5040   



     8        
 8  d         
x ⋅───(cos(x))
     8        
   dx         
──────────────
    40320     

 8       
x ⋅cos(x)
─────────
  40320  


     8        
 8  d         
x ⋅───(sin(x))
     8        
   dx         
──────────────
    40320     

 8       
x ⋅sin(x)
─────────
  40320  



     9        
 9  d         
x ⋅───(cos(x))
     9        
   dx         
──────────────
    362880    

  9        
-x ⋅sin(x) 
───────────
   362880  


     9        
 9  d         
x ⋅───(sin(x))
     9        
   dx         
──────────────
    362880    

 9       
x ⋅cos(x)
─────────
  362880 




C:\Users\...>