2019年3月25日月曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(d)の解答を求めてみる。



    1. 置換積分法。

      t = x 2 dt dx = 2 x x = 0 , t = 1 x = 1 , t = 1 0 1 sin x 2 x dx = 0 1 sin t x . 1 2 x dt = 1 2 0 1 sin t t dt

      テイラー の公式を用いる。

      d dt sin t = cos t d 2 dt 2 sin t = - sin t d 3 dt 3 sin t = - cos t d 4 dt 4 sin t = sin t sin t = t - t 3 3 ! + t 5 5 ! + R 7 t R 7 t t 7 7 !

      よって、

      sin t t = 1 - t 2 3 ! + t 4 5 ! + R 7 t t R 7 t t t 6 7 !

      ゆえに、

      1 2 0 1 sin t t dt = 1 2 t - t 3 3 · 3 ! + t 5 5 · 5 ! 0 1 + 1 2 0 1 R 7 t t dt

      かつ

      1 2 0 1 R 7 t 7 ! dt 1 2 0 1 t 6 7 ! dt = 1 2 · 7 · 7 ! t 7 0 1 = 1 2 · 7 · 7 ! < 1 1000

      よって、求める積分の小数第3位までの値は、

      1 2 t - t 3 3 · 3 ! + t 5 5 · 5 ! 0 1 = 1 2 1 - 1 3 · 3 ! + 1 5 · 5 ! = 1 2 · 3 · 5 · 5 ! - 5 · 5 · 4 + 3 3 · 5 · 5 ! = 1800 - 100 + 3 3600 = 1703 3600 = 0.4730 0.473

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, Integral, plot, Rational, factorial

print('11-(d).')

x = symbols('x')
f = sin(x ** 2) / x
i = Integral(f, (x, 0, 1))
g = Rational(1, 2) * (x -
                      x ** 3 / (3 * factorial(3)) +
                      x ** 5 / (5 * factorial(5)))

for o in [i, i.doit(), float(i.doit()), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, (x, -2, 2), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(d).
1           
⌠           
⎮    ⎛ 2⎞   
⎮ sin⎝x ⎠   
⎮ ─────── dx
⎮    x      
⌡           
0           

Si(1)
─────
  2  

0.4730415351835915

   3    
  x    x
- ── + ─
  36   2


C:\Users\...>

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