数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(余弦、小数点以下第3位までの値、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   剰余項

   $R_3$

   を評価してみる。

   $\begin{array}{}\left|R_3\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left(0.1\right)}^3}{3!}\\ =\frac{1}{3!10^3}\\ <\frac{1}{10^3}\\ =0.001\end{array}$

   よって、求める cos 0.1 の小数点以下第3位までの値は、

   $\begin{array}{}\frac{\cos 0}{01}-\frac{\left(\sin 0\right)}{1!}\left(0.1\right)-\frac{\cos 0}{2!}{\left(0.1\right)}^2\\ =1-0.005\\ =0.995\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, cos, factorial, Derivative

x = symbols('x')
f = cos(x)

for n in range(5):
    print(f'n = {n}')
    g = sum([Derivative(f, x, i).subs({x: 0}) / factorial(i) * x ** i
             for i in range(n + 1)])
    for o in [g, g.doit(), g.doit().subs({x: 0.1})]:
        pprint(o)
        print()
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample3.py
n = 0
1

1

1


n = 1
  ⎛d         ⎞│       
x⋅⎜──(cos(x))⎟│    + 1
  ⎝dx        ⎠│x=0    

1

1


n = 2
   ⎛  2        ⎞│                            
 2 ⎜ d         ⎟│                            
x ⋅⎜───(cos(x))⎟│                            
   ⎜  2        ⎟│                            
   ⎝dx         ⎠│x=0     ⎛d         ⎞│       
──────────────────── + x⋅⎜──(cos(x))⎟│    + 1
         2               ⎝dx        ⎠│x=0    

   2    
  x     
- ── + 1
  2     

0.995000000000000


n = 3
   ⎛  3        ⎞│         ⎛  2        ⎞│                            
 3 ⎜ d         ⎟│       2 ⎜ d         ⎟│                            
x ⋅⎜───(cos(x))⎟│      x ⋅⎜───(cos(x))⎟│                            
   ⎜  3        ⎟│         ⎜  2        ⎟│                            
   ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0     ⎛d         ⎞│       
──────────────────── + ──────────────────── + x⋅⎜──(cos(x))⎟│    + 1
         6                      2               ⎝dx        ⎠│x=0    

   2    
  x     
- ── + 1
  2     

0.995000000000000


n = 4
   ⎛  4        ⎞│         ⎛  3        ⎞│         ⎛  2        ⎞│               
 4 ⎜ d         ⎟│       3 ⎜ d         ⎟│       2 ⎜ d         ⎟│               
x ⋅⎜───(cos(x))⎟│      x ⋅⎜───(cos(x))⎟│      x ⋅⎜───(cos(x))⎟│               
   ⎜  4        ⎟│         ⎜  3        ⎟│         ⎜  2        ⎟│               
   ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0     ⎛d     
──────────────────── + ──────────────────── + ──────────────────── + x⋅⎜──(cos
         24                     6                      2               ⎝dx    

             
             
             
             
    ⎞│       
(x))⎟│    + 1
    ⎠│x=0    

 4    2    
x    x     
── - ── + 1
24   2     

0.995004166666667



C:\Users\...>