数学 - 線形代数学 - 線形写像(2つのベクトル空間、零ベクトルの逆像、部分空間)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   

   u、 v を U の任意の元とする。

   $\begin{array}{}f\left(u+v\right)\\ =f\left(u\right)+f\left(v\right)\\ =O+O\\ =O\end{array}$

   よって、

   $u+v\in \; <!--\; element\; of\; -->U$

   また、 任意の K の元 c に対して、

   $\begin{array}{}f\left(cu\right)\\ =cf\left(u\right)\\ =cO\\ =O\end{array}$

   よって、

   $cu\in \; <!--\; element\; of\; -->U$

   また、

   $\begin{array}{}f\left(O\right)\\ =f\left(O+OX\right)\\ =f\left(O\right)+f\left(O\right)\\ f\left(O\right)=O\\ O\in \; <!--\; element\; of\; -->U\end{array}$

   ゆえに、 V の部分集合 U は、 V の部分空間である。