数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 平方和の性質(因数分解、累乗(平方))

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、平方和の性質の問16の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) - {(a x + b y)}^{2} \\ = a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} - (a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} + 2 a b x y) \\ = a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} - 2 a b x y \\ = {(b x - a y)}^{2} \\ \geq 0 \end{array}$
2. $\begin{array}{l} a^{4} + b^{4} - (a^{3} b + a b^{3}) \\ = (a^{2} - 2 a b + b^{2}) (a^{2} + a b + b^{2}) \\ = {(a - b)}^{2} (a^{2} + a b + b^{2}) \\ a - b \geq 0 \\ a^{2} + a b + b^{2} \\ = {(a + \frac{1}{2} b)}^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \\ \geq 0 \end{array}$
  
  よって、
  
  $a^{4} + b^{4} - (a^{3} b + a b^{3}) \geq 0$
3. $\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 - 2 (a + b + c) \\ = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \\ \geq 0 \end{array}$
  
  （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols

print('16.')

a, b, c, x, y = symbols('a, b, c, x, y')
fs = [(a ** 2 + b ** 2) * (x ** 2 + y ** 2) - (a * x + b * y) ** 2,
      (a ** 4 + b ** 4) - (a ** 3 * b + a * b ** 3),
      (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2 + 3) - 2 * (a + b + c)]

for i, f in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(f.factor())
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample16.py
16.
(1)
            2
(-a⋅y + b⋅x) 

(2)
       2 ⎛ 2          2⎞
(a - b) ⋅⎝a  + a⋅b + b ⎠

(3)
 2          2          2          
a  - 2⋅a + b  - 2⋅b + c  - 2⋅c + 3


C:\Users\...>

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