数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(可換であるための十分条件、一般的な規則、単位行列)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{}CA\\ =\left[\begin{array}{cc}7& 14\\ 21& -7\end{array}\right]\\ =7\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right]\\ AC\\ =\left[\begin{array}{cc}7& 14\\ 21& -7\end{array}\right]\\ =7\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right]\\ CB\\ =\left[\begin{array}{cc}14& 0\\ 7& 7\end{array}\right]\\ =7\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\\ BC\\ =\left[\begin{array}{cc}14& 0\\ 7& 7\end{array}\right]\\ =7\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\end{array}$

   一般的な規則は、2次の正方行列について、任意の行列 A と対角要素(i. i)成分がすべて等しい行列 B と の積は可換であるという規則。 （任意の列の積は一般には可換ではない。）

   実際に確認。

   $\begin{array}{}A=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\\ B=\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right]\\ AB\\ =\left[\begin{array}{cc}ax& cx\\ bx& \mathrm{dx}\end{array}\right]\\ BA\\ =\left[\begin{array}{cc}ax& cx\\ bx& \mathrm{dx}\end{array}\right]\\ AB=BC\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, randMatrix
import random

print('6.')


A = Matrix(symbols('a, b, c, d')).reshape(2, 2)
x = symbols('x')
B = Matrix([[x, 0],
            [0, x]])

for t in [A, B, A * B, B * A, A * B == B * A]:
    pprint(t)
    print()

for _ in range(5):
    A = randMatrix(2)
    x = random.randrange(-10, 10)
    B = Matrix([[x, 0],
                [0, x]])
    AB = A * B
    BA = B * A
    for t in [A, B, AB, BA, AB == BA]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample6.py
6.
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡x  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  x⎦

⎡a⋅x  b⋅x⎤
⎢        ⎥
⎣c⋅x  d⋅x⎦

⎡a⋅x  b⋅x⎤
⎢        ⎥
⎣c⋅x  d⋅x⎦

True

⎡2   64⎤
⎢      ⎥
⎣25  37⎦

⎡-9  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -9⎦

⎡-18   -576⎤
⎢          ⎥
⎣-225  -333⎦

⎡-18   -576⎤
⎢          ⎥
⎣-225  -333⎦

True


⎡33  75⎤
⎢      ⎥
⎣69  38⎦

⎡-8  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -8⎦

⎡-264  -600⎤
⎢          ⎥
⎣-552  -304⎦

⎡-264  -600⎤
⎢          ⎥
⎣-552  -304⎦

True


⎡5   84⎤
⎢      ⎥
⎣60  9 ⎦

⎡-8  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -8⎦

⎡-40   -672⎤
⎢          ⎥
⎣-480  -72 ⎦

⎡-40   -672⎤
⎢          ⎥
⎣-480  -72 ⎦

True


⎡12  50⎤
⎢      ⎥
⎣77  52⎦

⎡8  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  8⎦

⎡96   400⎤
⎢        ⎥
⎣616  416⎦

⎡96   400⎤
⎢        ⎥
⎣616  416⎦

True


⎡60  66⎤
⎢      ⎥
⎣81  40⎦

⎡-4  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -4⎦

⎡-240  -264⎤
⎢          ⎥
⎣-324  -160⎦

⎡-240  -264⎤
⎢          ⎥
⎣-324  -160⎦

True


$