数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 面積(三角関数(正弦)、結び、ハート形、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、面積の練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}1+2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=0\\ \sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=-\frac{1}{2}\\ \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=-\frac{1}{6}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->},-\frac{5}{6}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ \int \; <!--\; integral\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{r}^2}{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->{\left(1+2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^{2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->\left(1+4\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+4{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-4\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+4\left(-\frac{1}{2}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{1}{2}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\\ =\frac{1}{2}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-2\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ {\left[\frac{1}{2}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-2\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_{\left(-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\right)}^{\left(\frac{7}{6}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\right)}\\ =\frac{3}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{8}{6}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}-2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\\ =2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ =2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, cos, sin, pi, exp, sqrt
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 1 + 2 * sin(theta)
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(r ** 2 / 2, (theta, - pi / 6, 7 * pi / 6))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, 0, pi / 2)),
                    (x, y, (theta, pi / 2, pi)),
                    (x, y, (theta, pi, 7 * pi / 6)),
                    (x, y, (theta, 7 * pi / 6, 3 * pi / 2)),
                    (x, y, (theta,  3 * pi / 2, 11 * pi / 6)),
                    (x, y, (theta, 11 * pi / 6, 2 * pi)),
                    show=False)


colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'pink']
for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]
p.save('sample7.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample7.py
7⋅π                   
───                   
 6                    
 ⌠                    
 ⎮                2   
 ⎮  (2⋅sin(θ) + 1)    
 ⎮  ─────────────── dθ
 ⎮         2          
 ⌡                    
-π                    
───                   
 6                    

3⋅√3      
──── + 2⋅π
 2        

C:\Users\...>