2019年2月8日金曜日

学習環境

代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(実数)、2(実数の分類)、問1の解答を求めてみる。


  1. 自然数。

    3 7

    整数。

    3 - 16 = - 4 7

    有理数。

    3 - 16 - 5 2 7 0.09 = 0.3 = 3 10

    無理数。

    7 - π 0.4

    確認。

    7

    が有理数と仮定すると、既約分数として、

    7 = n m m , n m 2 7 = n 2

    左辺は7の倍数なので、右辺も7の倍数となる。

    また、7は素数なので、 n は7の倍数である。

    n = 7 k n 2 = 49 k 2

    このとき、

    m 2 7 = 49 k 2 m 2 = 7 k 2

    同様に、 m も7の倍数である。

    これは、既約分数であるという仮定と矛盾。

    よって、7の平方は無理数である。

    0.4

    についても同 様にして考える。

    0.4 = n m 0.4 m 2 = n 2 4 m 2 = 10 n 2 2 m 2 = 5 n 2 n = 2 k 2 m 2 = 5 · 4 k 2 m 2 = 5 · 2 k 2

    よって、 m、 n 共に2の後数となり矛盾。(証明終)

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