数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 整式の恒等式(分数式、分母をはらう、因数分解、展開、整式一致の定理)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、整式の恒等式の問43の解答を求めてみる。

1. 両辺の分母をはらったあと連立方程式を解く。
  
  $\begin{array}{l} \frac{x + 5}{(x - 2) (3 x + 1)} = \frac{a (3 x + 1) + b (x - 2)}{(x - 2) (3 x + 1)} \\ x + 5 = (3 x + b) x + (a - 2 b) \\ 3 a + b = 1 \\ a - 2 b = 5 \\ 7 a = 7 \\ a = 1 \\ b = - 2 \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \frac{3 x + 2}{x (x^{2} + 2)} = \frac{a (x^{2} + 2) + (b x + c) x}{x (x^{2} + 2)} \\ a + b = 0 \\ c = 3 \\ 2 a = 2 \\ a = 1 \\ b = - 1 \end{array}$
3. 右辺について。
  
  $\frac{(x - 1) (x - 2) (x + 3) + a (x - 2) (x + 3) + b (x - 1) (x + 3) + c (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2) (x + 3)}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} x^{3} + 6 x - 15 \\ = (x - 1) (x - 2) (x + 3) + a (x - 2) (x + 3) + b (x - 1) (x + 3) + c (x - 1) (x - 2) \end{array}$
  
  x に1、2、-3を代入。
  
  $\begin{array}{l} 1 + 6 - 15 = - 4 a \\ - 4 a = - 8 \\ a = 2 \\ 5 b = 8 + 12 - 15 \\ b = 1 \\ 20 c = - 27 - 18 - 15 \\ c = - 3 \end{array}$
4. 右辺について。
  
  $\frac{a {(x - 1)}^{2} + b x (x - 1) + c x}{x {(x - 1)}^{2}}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} 2 x + 3 = a {(x - 1)}^{2} + b x (x - 1) + c x \\ x = 1 \\ c = 5 \\ a + b = 0 \\ a = 3 \\ b = - 3 \end{array}$
5. 右辺について。
  
  $\frac{a (x + 1) (x^{2} + 1) + b (x - 1) (x^{2} + 1) + (c x + d) (x - 1) (x + 1)}{x (x^{2} + 1)}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} 1 = a (x + 1) (x^{2} + 1) + b (x - 1) (x^{2} + 1) + (c x + d) (x - 1) (x + 1) \\ x = 1 \\ 4 a = 1 \\ a = \frac{1}{4} \\ x = - 1 \\ - 4 b = 1 \\ b = - \frac{1}{4} \\ c = 0 \\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - d = 1 \\ d = - \frac{1}{2} \end{array}$
6. $\frac{a {(x^{2} + 1)}^{2} + (b x + c) x (x^{2} + 1) + (dx + e) x}{x {(x^{2} + 1)}^{2}}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} a {(x^{2} + 1)}^{2} + (b x + c) x (x^{2} + 1) + (dx + e) x = 1 \\ a + b = 0 \\ c = 0 \\ 2 a + b + d = 0 \\ e = 0 \\ a = 1 \\ b = - 1 \\ 2 - 1 + d = 0 \\ d = - 1 \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('41.')

a, b, c, d, e, x = symbols('a, b, c, d, e, x')

ts = [((x + 5) / (3 * x ** 2 - 5 * x - 2),
       a / (x - 2) + b / (3 * x + 1)),
      ((3 * x + 2) / (x * (x ** 2 + 2)),
       a / x + (b * x + c) / (x ** 2 + 2)),
      ((x ** 3 + 6 * x - 15) / ((x - 1) * (x - 2) * (x + 3)),
       1 + a / (x - 1) + b / (x - 2) + c / (x + 3)),
      ((2 * x + 3) / (x * (x - 1) ** 2),
       a / x + b / (x - 1) + c / (x - 1) ** 2),
      (1 / (x ** 4 - 1),
       a / (x - 1) + b / (x + 1) + (c * x + d) / (x ** 2 + 1)),
      (1 / (x * (x ** 2 + 1) ** 2),
       a / x + (b * x + c) / (x ** 2 + 1) + (d * x + e) / (x ** 2 + 1) ** 2)]


for i, (l, r) in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(solve(l - r, a, b, c, d, e))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample43.py
41.
(1)
{a: 1, b: -2}

(2)
{a: 1, b: -1, c: 3}

(3)
{a: 2, b: 1, c: -3}

(4)
{a: 3, b: -3, c: 5}

(5)
{a: 1/4, b: -1/4, c: 0, d: -1/2}

(6)
{a: 1, b: -1, c: 0, d: -1, e: 0}

$

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2019年1月8日火曜日

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