数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(関数、積分、スカラー積(内積、ドット積)、三角関数(正弦と余弦、加法定理))

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{}\underset{-\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \left(nx\right)\sin \left(mx\right)\mathrm{dx}\\ =\underset{-\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right)}{2}\mathrm{dx}\end{array}$

    異なる m、 n に対して

    $\begin{array}{}m\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->n\\ \frac{1}{2\left(m-n\right)}{\left[\sin \left(\left(m-n\right)x\right)-\sin \left(\left(m+n\right)x\right)\right]}_{-\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =0\end{array}$

    よって、 問題の関数は互いに垂直、すなわちどの2つの内積の値も0である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, pi, Integral

print('8.')


m, n = symbols('m, n', integer=True, positive=True)
x = symbols('x')


def dot(f, g):
    return Integral(f * g, (x, -pi, pi))


f = sin(m * x)
g = sin(n * x)

pprint(dot(f, g).doit())

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
8.
⎧0  for m ≠ n
⎨            
⎩π  otherwise
$