2019年1月4日金曜日

学習環境

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、恒等式の問41の解答を求めてみる。



    1. 左辺を展開。

      a 2 + k b 2 c 2 + k d 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 k + k b 2 c 2 + k 2 b 2 d 2

      右辺を展開する。

      a c + k b d 2 + k a d - b c 2 = a 2 c 2 + 2 a b c d k + k a 2 d 2 - 2 k a b c d + k b 2 c 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 k + k b 2 c 2 + k b 2 d 2

      よって、等式は成り立つ。

      (証明終)


    2. 右辺を展開する。

      1 2 a 2 - 2 a b + b 2 + b 2 - 2 b c + c 2 + c 2 - 2 c a + a 2 = a 2 + b 2 + c 2 - a b - b c - c q

      よって等式は成り立つ。

      (証明終)


    3. 左辺 について o

      1 1 - x + 1 1 - y = 2 - x - y 1 - x 1 - y

      右辺について。

      1 + 1 - x y 1 - x 1 - y = 1 - x - y + x y + 1 - x y 1 - x 1 - y = 2 - x - y 1 - x 1 - y

      よって等式は成り立つ。

      (証明終)


    4. 左辺について。

      b a a + b + c a + b a + b + c = a b + b 2 + b c + a c a a + b a + b + c

      右辺について。

      1 a - 1 a + b + c = a + b + c - a a a + b + c = b + c a + b a a + b a + b + c = a b + b 2 + b c + a c a a + b a + b + c

      よって等式は成り立つ。

      (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('41.')

a, b, c, d, x, y, k = symbols('a, b, c, d, x, y, k')
ts = [((a ** 2 + k * b ** 2) * (c ** 2 + k * d ** 2),
       (a * c + k * b * d) ** 2 + k * (a * d - b * c) ** 2),
      (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2 - a * b - b * c - c * a,
       ((a - b) ** 2 + (b - c) ** 2 + (c - a) ** 2) / 2),
      (1 / (1 - x) + 1 / (1 - y),
       1 + (1 - x * y) / ((1 - x) * (1 - y))),
      (b / (a * (a + b)) + c / ((a + b) * (a + b + c)),
       1 / a - 1 / (a + b + c))]

for i, (l, r) in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    pprint((l - r).simplify() == 0)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample41.py
41.
(1)
True

(2)
True

(3)
True

(4)
True

$

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