数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 恒等式(等式の証明、左辺と右辺の展開)

数学読本〈1〉
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、恒等式の問41の解答を求めてみる。

41. 
    
    1. 
       

       左辺を展開。

       $\begin{array}{}\left(a^2+k{b}^2\right)\left(c^2+k{d}^2\right)\\ =a^2{c}^2+a^2{d}^{2}k+k{b}^2{c}^2+k^2{b}^2{d}^2\end{array}$

       右辺を展開する。

       $\begin{array}{}{\left(ac+kbd\right)}^2+k{\left(ad-bc\right)}^2\\ =a^2{c}^2+2abcdk+k{a}^2{d}^2-2kabcd+k{b}^2{c}^2\\ =a^2{c}^2+a^2{d}^{2}k+k{b}^2{c}^2+k{b}^2{d}^2\end{array}$

       よって、等式は成り立つ。

       （証明終）

    2. 
       

       右辺を展開する。

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\right)\\ =a^2+b^2+c^2-ab-bc-cq\end{array}$

       よって等式は成り立つ。

       （証明終）

    3. 
       

       左辺 について o

       $\begin{array}{}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}\\ =\frac{2-x-y}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\end{array}$

       右辺について。

       $\begin{array}{}1+\frac{1-xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\\ =\frac{1-x-y+xy+1-xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\\ =\frac{2-x-y}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\end{array}$

       よって等式は成り立つ。

       （証明終）

    4. 
       

       左辺について。

       $\begin{array}{}\frac{b}{a\left(a+b\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\\ =\frac{ab+b^2+bc+ac}{a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\end{array}$

       右辺について。

       $\begin{array}{}\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b+c}\\ =\frac{a+b+c-a}{a\left(a+b+c\right)}\\ =\frac{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\\ =\frac{ab+b^2+bc+ac}{a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\end{array}$

       よって等式は成り立つ。

       （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('41.')

a, b, c, d, x, y, k = symbols('a, b, c, d, x, y, k')
ts = [((a ** 2 + k * b ** 2) * (c ** 2 + k * d ** 2),
       (a * c + k * b * d) ** 2 + k * (a * d - b * c) ** 2),
      (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2 - a * b - b * c - c * a,
       ((a - b) ** 2 + (b - c) ** 2 + (c - a) ** 2) / 2),
      (1 / (1 - x) + 1 / (1 - y),
       1 + (1 - x * y) / ((1 - x) * (1 - y))),
      (b / (a * (a + b)) + c / ((a + b) * (a + b + c)),
       1 / a - 1 / (a + b + c))]

for i, (l, r) in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    pprint((l - r).simplify() == 0)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample41.py
41.
(1)
True

(2)
True

(3)
True

(4)
True

$