数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(n次元実数空間、ベクトル、垂直、一次独立)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $a_1{A}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}_n=O$

   とし、 1次従属であると仮定する。

   このとき

   $a_i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   となるものが存在する。

   $\begin{array}{}\left(a_1{A}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}_n\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->A_i=O{A}_i\\ a{A}_i{A}_i+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_i{A}_i·\; <!--\; middle\; dot\; -->A_i+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}_n·\; <!--\; middle\; dot\; -->A_i=O\\ a_i{A}_i=O\\ A_i=O\end{array}$

   これは問題の仮定に反する。

   よって、 1次独立である。

   （証明終）