## 2019年1月19日土曜日

### 数学 - ( @hyuki )結城浩さんのツイートより - 2つの数(実数の範囲)とサインカーブ

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, plot
import random

x = symbols('x')
fs = [random.randrange(-100, 101) * sin(x) +
random.randrange(-100, 101) * cos(x)
for _ in range(10)]

for f in fs:
pprint(f)

p = plot(*fs, show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown',
'pink', 'yellow', 'skyblue', 'purple', 'gray']
for i, color in enumerate(colors):
p[i].line_color = color
p.save('sample.png')


$python3 sample.py 49⋅sin(x) + 59⋅cos(x) 47⋅sin(x) - 64⋅cos(x) -62⋅sin(x) + 43⋅cos(x) -7⋅sin(x) - 72⋅cos(x) -39⋅sin(x) - 96⋅cos(x) -sin(x) + 85⋅cos(x) 30⋅sin(x) + 91⋅cos(x) -6⋅sin(x) - 70⋅cos(x) 61⋅sin(x) + 32⋅cos(x) -44⋅sin(x) - 95⋅cos(x)$


HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.01">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-20">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="20">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-20">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="20">
<br>
f(x) =
<input id="a0" type="number" step="1" value="-5">sin(x) +
<input id="b0" type="number" step="1" value="5">cos(x)

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample.js"></script>


JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
pre0 = document.querySelector('#output0'),
width = 600,
height = 600,
btn0 = document.querySelector('#draw0'),
btn1 = document.querySelector('#clear0'),
input_r = document.querySelector('#r0'),
input_dx = document.querySelector('#dx'),
input_x1 = document.querySelector('#x1'),
input_x2 = document.querySelector('#x2'),
input_y1 = document.querySelector('#y1'),
input_y2 = document.querySelector('#y2'),
input_a0 = document.querySelector('#a0'),
input_b0 = document.querySelector('#b0'),
inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
input_a0, input_b0],
p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let draw = () => {
pre0.textContent = '';

let r = parseFloat(input_r.value),
dx = parseFloat(input_dx.value),
x1 = parseFloat(input_x1.value),
x2 = parseFloat(input_x2.value),
y1 = parseFloat(input_y1.value),
y2 = parseFloat(input_y2.value),
a0 = parseInt(input_a0.value),
b0 = parseInt(input_a0.value),
fns = [[x => a0 * Math.sin(x), 'red'],
[x => b0 * Math.cos(x), 'green'],
[x => a0 * Math.sin(x) + b0 * Math.cos(x), 'blue']];

if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
return;
}

let points = [],
lines = [];

fns
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
let y = f(x);
console.log(x, y, a0, b0);
points.push([x, y, color]);
}
});

let xscale = d3.scaleLinear()
.domain([x1, x2])
let yscale = d3.scaleLinear()
.domain([y1, y2])

let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
div0.innerHTML = '';
let svg = d3.select('#graph0')
.append('svg')
.attr('width', width)
.attr('height', height);

svg.selectAll('line')
.data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
.enter()
.append('line')
.attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
.attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
.attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
.attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
.attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

svg.selectAll('circle')
.data(points)
.enter()
.append('circle')
.attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
.attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
.attr('r', r)
.attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

svg.append('g')
.attr('transform', translate(0, ${height - padding})) .call(xaxis); svg.append('g') .attr('transform', translate(${padding}, 0))
.call(yaxis);

[fns].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();


f(x) = sin(x) + cos(x)

ということで、整数(実数でも)なら綺麗なグラフになる。ということでどの数もいい数になるという。なので全て大吉のおみくじみたいな。(正月だし。そのおみくじがあったとして嬉しいか嬉しくないかは人それぞれ？！)

なぜサインカーブになるかについて。

$\begin{array}{}f\left(x\right)\\ =a\left(\mathrm{sin}x\right)+b\left(\mathrm{cos}x\right)\\ =\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}\mathrm{sin}x+\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}\mathrm{cos}x\right)\end{array}$

ここで、

$\mathrm{cos}\theta =\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}},\mathrm{sin}\theta =\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$

この角のイメージ図について。

とおけば、 加法定理より、

$\begin{array}{}f\left(x\right)\\ =\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\left(\mathrm{cos}\theta \mathrm{sin}x+\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}x\right)\\ =\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\mathrm{sin}\left(x+\theta \right)\end{array}$

よって、任意の実数 a、 b に対して関数f はサインカーブになる。

#### 2 コメント:

a sin(x) + b cos(x) を
√(a^2 + b^2) sin(x+θ) の形に表すことを
「三角関数の合成」といいますね。
（もっと調べたい人向けに用語もご紹介）

kamimuraさんのコメント...