2019年1月11日金曜日

学習環境

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、条件つきの等式の問45の解答を求めてみる。



    1. c = - a + b a 2 - b c = a 2 + b a + b = a 2 + b 2 + a b b 2 - c a = b 2 + a + b a = a 2 + b 2 + a b c 2 - a b = a 2 + b 2 + 2 a b - a b = a 2 + b 2 + a b

      よって、等式

      a 2 - b c = b 2 - c a = c 2 - a b

      は成り立つ。


    2. b 2 - a + b 2 a + a + b 2 - a 2 b + a 2 - b 2 - a + b = - a - 2 b + 2 a + b - a - b = 0

    3. a + b + c 3 = a 3 + 3 a 2 b + c + 3 a b + c 2 + b + c 3 = a 3 + 3 a 2 b + c + 3 a b + c 2 + b 3 + 3 b 2 c + 3 b c 2 + c 3 = a 3 + b 3 + c 3 + b + c 3 a 2 + 3 a b + c + 3 b c = a 3 + b 3 + c 3 + 3 b + c a 2 + a b + a c + b c = a 3 + b 3 + c 3 + 3 a + b b + c c + a

      よって、

      a 3 + b 3 + c 3 = a + b + c 2 - 3 a + b b + c c + a = - 3 - c - a - b = 3 a b c

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('45.')

a, b, c = symbols('a, b, c')

ts = [[(a ** 2 - b * c) - (b ** 2 - c * a),
       (b ** 2 - c * a) - (c ** 2 - a * b)],
      [(b ** 2 - c ** 2) / a - (c ** 2 - a ** 2) / b,
       (c ** 2 - a ** 2) / b - (a ** 2 - b ** 2) / c],
      [a ** 3 + b ** 3 + c ** 3 - 3 * a * b * c]]


for i, t in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(solve(*(t + [a + b + c]), a, b, c))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample45.py
45.
(1)
[{a: b}, {c: -a - b}]

(2)
⎡         ⎧          _______________⎫  ⎧          _______________⎫⎤
⎢         ⎪         ╱      2      2 ⎪  ⎪         ╱      2      2 ⎪⎥
⎢         ⎨   b   ╲╱  - 3⋅b  + 4⋅c  ⎬  ⎨   b   ╲╱  - 3⋅b  + 4⋅c  ⎬⎥
⎢{a: -b}, ⎪a: ─ - ──────────────────⎪, ⎪a: ─ + ──────────────────⎪⎥
⎣         ⎩   2           2         ⎭  ⎩   2           2         ⎭⎦

(3)
⎡             ⎧   b   √3⋅ⅈ⋅b   c   √3⋅ⅈ⋅c⎫  ⎧   b   √3⋅ⅈ⋅b   c   √3⋅ⅈ⋅c⎫⎤
⎢{a: -b - c}, ⎨a: ─ - ────── + ─ + ──────⎬, ⎨a: ─ + ────── + ─ - ──────⎬⎥
⎣             ⎩   2     2      2     2   ⎭  ⎩   2     2      2     2   ⎭⎦

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