数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 条件つきの等式(代入、差、零)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、条件つきの等式の問45の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} c = - (a + b) \\ a^{2} - b c \\ = a^{2} + b (a + b) \\ = a^{2} + b^{2} + a b \\ b^{2} - c a \\ = b^{2} + (a + b) a \\ = a^{2} + b^{2} + a b \\ c^{2} - a b \\ = a^{2} + b^{2} + 2 a b - a b \\ = a^{2} + b^{2} + a b \end{array}$
  
  よって、等式
  
  $a^{2} - b c = b^{2} - c a = c^{2} - a b$
  
  は成り立つ。
2. $\begin{array}{l} \frac{b^{2} - {(a + b)}^{2}}{a} + \frac{{(a + b)}^{2} - a^{2}}{b} + \frac{a^{2} - b^{2}}{- (a + b)} \\ = - a - 2 b + 2 a + b - (a - b) \\ = 0 \end{array}$
3. $\begin{array}{l} {(a + b + c)}^{3} \\ = a^{3} + 3 a^{2} (b + c) + 3 a {(b + c)}^{2} + {(b + c)}^{3} \\ = a^{3} + 3 a^{2} (b + c) + 3 a {(b + c)}^{2} + b^{3} + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + c^{3} \\ = (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + (b + c) (3 a^{2} + 3 a (b + c) + 3 b c) \\ = (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3 (b + c) (a^{2} + a b + a c + b c) \\ = (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3 (a + b) (b + c) (c + a) \end{array}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} a^{3} + b^{3} + c^{3} \\ = {(a + b + c)}^{2} - 3 (a + b) (b + c) (c + a) \\ = - 3 (- c) (- a) (- b) \\ = 3 a b c \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('45.')

a, b, c = symbols('a, b, c')

ts = [[(a ** 2 - b * c) - (b ** 2 - c * a),
       (b ** 2 - c * a) - (c ** 2 - a * b)],
      [(b ** 2 - c ** 2) / a - (c ** 2 - a ** 2) / b,
       (c ** 2 - a ** 2) / b - (a ** 2 - b ** 2) / c],
      [a ** 3 + b ** 3 + c ** 3 - 3 * a * b * c]]


for i, t in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(solve(*(t + [a + b + c]), a, b, c))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample45.py
45.
(1)
[{a: b}, {c: -a - b}]

(2)
⎡         ⎧          _______________⎫  ⎧          _______________⎫⎤
⎢         ⎪         ╱      2      2 ⎪  ⎪         ╱      2      2 ⎪⎥
⎢         ⎨   b   ╲╱  - 3⋅b  + 4⋅c  ⎬  ⎨   b   ╲╱  - 3⋅b  + 4⋅c  ⎬⎥
⎢{a: -b}, ⎪a: ─ - ──────────────────⎪, ⎪a: ─ + ──────────────────⎪⎥
⎣         ⎩   2           2         ⎭  ⎩   2           2         ⎭⎦

(3)
⎡             ⎧   b   √3⋅ⅈ⋅b   c   √3⋅ⅈ⋅c⎫  ⎧   b   √3⋅ⅈ⋅b   c   √3⋅ⅈ⋅c⎫⎤
⎢{a: -b - c}, ⎨a: ─ - ────── + ─ + ──────⎬, ⎨a: ─ + ────── + ─ - ──────⎬⎥
⎣             ⎩   2     2      2     2   ⎭  ⎩   2     2      2     2   ⎭⎦

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2019年1月11日金曜日

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