2019年1月9日水曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題11の解答を求めてみる。


  1. a 1 sin t = 0

    のとき、

    a 1 = 0

    よって、 1次独立。

    a 1 sin t + + a n - 1 sin n - 1 t + a n sin n t = 0 a 1 sin t + + a n - 1 sin n - 1 t = - a n sin n t

    とする。


    このとき

    a n = 0

    の場合、帰納法より、

    a 1 sin t + + a n - 1 sin n - 1 t = 0 a 1 = = a n - 1 = 0

    となり、1次独立。

    また、

    a n 0

    と仮定すると、

    a 1 a n sin t + + a n - 1 a n sin n - 1 t = sin n t

    となり、

    t = π n

    の場合、

    a 1 a n sin 1 n π + + a n · 1 a n sin n - 1 π n = 0 0 < k n π < 1 k = 1 , , n - 1 sin k n π > 0 k = 1 , , n - 1

    なので、

    a 1 a n = = a n - 1 a n = 0 a 1 = = a n - 1 = 0

    とならなければならないので、

    a n sin n t = 0

    となるが、この等式は成り立たないので矛盾。

    よって、

    a n = 0

    となり、

    a 1 sin t + + a n - 1 sin n - 1 t + 0 sin n t = 0 a 1 sin t + + a n - 1 sin n - 1 t = 0

    帰納法の仮定より、

    a 1 = = a n - 1 = 0

    ゆえに、関数

    sin t , , sin n t n 1
    • 実数体上で1次独立である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, solve, plot, pi
import random
print('11.')

t = symbols('t', real=True)

for n in range(1, 6):
    a = symbols([f'a{k}' for k in range(1, n + 1)], real=True)
    sins = sum([a[k - 1] * sin(k * t) for k in range(1, n + 1)])
    for o in [sins, solve(sins, *a, dict=True)]:
        pprint(o)
    print()

p = plot(*[sin(k * t) for k in range(1, 6)], (t, -pi, pi), show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown']

for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color

p.save('sample11.png')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
11.
a₁⋅sin(t)
[{a₁: 0}]

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t)
[{a₁: -2⋅a₂⋅cos(t)}]

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t)
⎡⎧                   a₃⋅sin(3⋅t)⎫⎤
⎢⎨a₁: -2⋅a₂⋅cos(t) - ───────────⎬⎥
⎣⎩                      sin(t)  ⎭⎦

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t)
⎡⎧    -(a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t)) ⎫⎤
⎢⎨a₁: ───────────────────────────────────────────⎬⎥
⎣⎩                       sin(t)                  ⎭⎦

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t) + a₅⋅sin(5⋅t)
⎡⎧    -(a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t) + a₅⋅sin(5⋅t)) ⎫⎤
⎢⎨a₁: ─────────────────────────────────────────────────────────⎬⎥
⎣⎩                              sin(t)                         ⎭⎦

$

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