数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(三角関数(正弦、倍角)、実数体上、一次独立)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $a_1\sin t=0$

    のとき、

    $a_1=0$

    よって、 1次独立。

    $\begin{array}{}{a}_1\sin t+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{n-1}\sin \left(\left(n-1\right)t\right)+a_n\sin \left(nt\right)=0\\ a_1\sin t+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{n-1}\sin \left(\left(n-1\right)t\right)=-a_n\sin \left(nt\right)\end{array}$

    とする。

    
    このとき

    $a_n=0$

    の場合、帰納法より、

    $\begin{array}{}{a}_1\sin t+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{n-1}\sin \left(\left(n-1\right)t\right)=0\\ a_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_{n-1}=0\end{array}$

    となり、1次独立。

    また、

    $a_n\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    と仮定すると、

    $\frac{a_1}{a_n}\sin t+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{a_{n-1}}{a_n}\sin \left(\left(n-1\right)t\right)=\sin \left(nt\right)$

    となり、

    $t=\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{n}$

    の場合、

    $\begin{array}{}\frac{a_1}{a_n}\sin \frac{1}{n}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{a_{n·\; <!--\; middle\; dot\; -->1}}{a_n}\sin \left(\left(n-1\right)\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{n}\right)=0\\ 0<\frac{k}{n}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}<1\left(k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\right)\\ \sin \left(\frac{k}{n}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\right)>0\left(k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\right)\end{array}$

    なので、

    $\begin{array}{}\frac{a_1}{a_n}=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=\frac{a_{n-1}}{a_n}=0\\ a_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_{n-1}=0\end{array}$

    とならなければならないので、

    $a_n\sin \left(nt\right)=0$

    となるが、この等式は成り立たないので矛盾。

    よって、

    $a_n=0$

    となり、

    $\begin{array}{}{a}_1\sin t+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{n-1}\sin \left(\left(n-1\right)t\right)+0\sin \left(nt\right)=0\\ a_1\sin t+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{n-1}\sin \left(\left(n-1\right)t\right)=0\end{array}$

    帰納法の仮定より、

    $a_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_{n-1}=0$

    ゆえに、関数

    $\sin t,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\sin \left(nt\right)\left(n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->1\right)$
    • 実数体上で1次独立である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, solve, plot, pi
import random
print('11.')

t = symbols('t', real=True)

for n in range(1, 6):
    a = symbols([f'a{k}' for k in range(1, n + 1)], real=True)
    sins = sum([a[k - 1] * sin(k * t) for k in range(1, n + 1)])
    for o in [sins, solve(sins, *a, dict=True)]:
        pprint(o)
    print()

p = plot(*[sin(k * t) for k in range(1, 6)], (t, -pi, pi), show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown']

for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color

p.save('sample11.png')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
11.
a₁⋅sin(t)
[{a₁: 0}]

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t)
[{a₁: -2⋅a₂⋅cos(t)}]

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t)
⎡⎧                   a₃⋅sin(3⋅t)⎫⎤
⎢⎨a₁: -2⋅a₂⋅cos(t) - ───────────⎬⎥
⎣⎩                      sin(t)  ⎭⎦

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t)
⎡⎧    -(a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t)) ⎫⎤
⎢⎨a₁: ───────────────────────────────────────────⎬⎥
⎣⎩                       sin(t)                  ⎭⎦

a₁⋅sin(t) + a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t) + a₅⋅sin(5⋅t)
⎡⎧    -(a₂⋅sin(2⋅t) + a₃⋅sin(3⋅t) + a₄⋅sin(4⋅t) + a₅⋅sin(5⋅t)) ⎫⎤
⎢⎨a₁: ─────────────────────────────────────────────────────────⎬⎥
⎣⎩                              sin(t)                         ⎭⎦

$