数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(三角関数(正弦と余弦)、対数関数)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+{\left(\frac{d}{\mathrm{dx}}\log \left(\cos x\right)\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+{\left(\frac{-\sin x}{\cos x}\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{\cos x}\mathrm{dx}\end{array}$

    微分を試行錯誤。

    $\begin{array}{}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(log\left(\cos x\right)\right)\\ =\frac{-\sin x}{\cos x}\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\log \frac{\cos x}{1-\sin x}\\ =\frac{1-\sin x}{\cos x}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{-\sin x\left(1-\sin x\right)-\cos x\left(-\cos x\right)}{{\left(1-\sin x\right)}^2}\\ =\frac{-\sin x+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\cos x\left(1-\sin x\right)}\\ =\frac{1}{\cos x}\end{array}$

    よって、求める曲線との長さは、

    $\begin{array}{}{\left[\log \frac{\cos x}{1-\sin x}\right]}_0^{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}\\ =\log \frac{\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}{1-\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}}-\log \frac{1}{1}\\ =\log \left(\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\\ =\log \frac{1}{2-\sqrt{3}}\\ =\log \frac{2+\sqrt{3}}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}\\ =\log \left(2+\sqrt{3}\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt
from sympy import log, cos, pi

x = symbols('x', real=True)

f = log(cos(x))
I = Integral(1 / cos(x), (x, 0, pi / 3))

I1 = I.doit()
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), log(2 + sqrt(3))]:
    print(float(o))

p = plot((f, (x, -4 * pi / 9, 0)),
         (f, (x, 0, pi / 3)),
         (f, (x, pi / 3, 4 * pi / 9)),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample11.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample11.py
π          
─          
3          
⌠          
⎮   1      
⎮ ────── dx
⎮ cos(x)   
⌡          
0          

   ⎛√3    ⎞      ⎛  √3    ⎞
log⎜── + 1⎟   log⎜- ── + 1⎟
   ⎝2     ⎠      ⎝  2     ⎠
─────────── - ─────────────
     2              2      

1.3169578969248168
1.3169578969248168
$