2019年1月22日火曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題11の解答を求めてみる。


  1. 0 π 3 1 + d dx log cos x 2 dx = 0 π 3 1 + - sin x cos x 2 dx = 0 π 3 1 + sin 2 x cos 2 x dx = 0 π 3 cos 2 x + sin 2 x cos 2 x dx = 0 π 3 1 cos x dx

    微分を試行錯誤。

    d dx l o g cos x = - sin x cos x d dx log cos x 1 - sin x = 1 - sin x cos x · - sin x 1 - sin x - cos x - cos x 1 - sin x 2 = - sin x + sin 2 x + cos 2 x cos x 1 - sin x = 1 cos x

    よって、求める曲線との長さは、

    log cos x 1 - sin x 0 π 3 = log cos π 3 1 - sin π 3 - log 1 1 = log 1 2 · 1 1 - 3 2 = log 1 2 - 3 = log 2 + 3 2 - 3 2 + 3 = log 2 + 3

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt
from sympy import log, cos, pi

x = symbols('x', real=True)

f = log(cos(x))
I = Integral(1 / cos(x), (x, 0, pi / 3))

I1 = I.doit()
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), log(2 + sqrt(3))]:
    print(float(o))

p = plot((f, (x, -4 * pi / 9, 0)),
         (f, (x, 0, pi / 3)),
         (f, (x, pi / 3, 4 * pi / 9)),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample11.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample11.py
π          
─          
3          
⌠          
⎮   1      
⎮ ────── dx
⎮ cos(x)   
⌡          
0          

   ⎛√3    ⎞      ⎛  √3    ⎞
log⎜── + 1⎟   log⎜- ── + 1⎟
   ⎝2     ⎠      ⎝  2     ⎠
─────────── - ─────────────
     2              2      

1.3169578969248168
1.3169578969248168
$

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