数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(部分分数分解、対数関数、置換積分法)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+{\left(\frac{d}{\mathrm{dx}}\log \left(1-x^2\right)\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+{\left(\frac{-2x}{1-x^2}\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^2+4x^2}}{1-x^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sqrt{1+2x^2+x^4}}{1-x^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^2}}{1-x^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{x^2+1}{1-x^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(\frac{2}{1-x^2}-1\right)\mathrm{dx}\\ =2\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\mathrm{dx}-\frac{3}{4}\\ \frac{a}{1+x}+\frac{b}{1-x}\\ =\frac{\left(-a+b\right)x+\left(a+b\right)}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\\ a+b=1\\ -a+b=0\\ b=\frac{1}{2}\\ a=\frac{1}{2}\\ 2\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)\mathrm{dx}\\ ={\left[\log \left(1+x\right)-\log \left(1-x\right)\right]}_0^{\frac{3}{4}}\\ =\log \frac{7}{4}-\log \frac{1}{4}\\ =\log 7\end{array}$

   よって、求める曲線の長さは、

   $\log 7-\frac{3}{4}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log

x = symbols('x')

f = log(1 - x ** 2)
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, 0, Rational(3, 4)))

I1 = I.doit()
I2 = I1.doit()
for o in [I, I1, I2]:
    pprint(o)
    print()

I = Integral((x ** 2 + 1) / (1 - x ** 2), (x, 0, Rational(3, 4)))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()
p = plot((f, (x, -0.9, 0)),
         (f, (x, 0, Rational(3, 4))),
         (f, (x, Rational(3, 4), 0.9)),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample9.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

iMac:曲線の長さ kamimura$ python3 sample9.py
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 ⌠                                    
 ⎮       __________________________   
 ⎮      ╱                    2        
 ⎮     ╱  ⎛d ⎛   ⎛   2    ⎞⎞⎞         
 ⎮    ╱   ⎜──⎝log⎝- x  + 1⎠⎠⎟  + 1  dx
 ⎮  ╲╱    ⎝dx               ⎠         
 ⌡                                    
 0                                    

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 ⌠                             
 ⎮         _________________   
 ⎮        ╱        2           
 ⎮       ╱      4⋅x            
 ⎮      ╱   ─────────── + 1  dx
 ⎮     ╱              2        
 ⎮    ╱     ⎛   2    ⎞         
 ⎮  ╲╱      ⎝- x  + 1⎠         
 ⌡                             
 0                             

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 ⌠                             
 ⎮         _________________   
 ⎮        ╱        2           
 ⎮       ╱      4⋅x            
 ⎮      ╱   ─────────── + 1  dx
 ⎮     ╱              2        
 ⎮    ╱     ⎛   2    ⎞         
 ⎮  ╲╱      ⎝- x  + 1⎠         
 ⌡                             
 0                             

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 ⌠               
 ⎮   ⎛ 2    ⎞    
 ⎮  -⎝x  + 1⎠    
 ⎮  ────────── dx
 ⎮     2         
 ⎮    x  - 1     
 ⌡               
 0               

-3/4 + log(7)

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