2019年1月20日日曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題9の解答を求めてみる。


  1. 0 3 4 1 + d dx log 1 - x 2 2 dx = 0 3 4 1 + - 2 x 1 - x 2 2 dx = 0 3 4 1 - x 2 2 + 4 x 2 1 - x 2 dx = 0 3 4 1 + 2 x 2 + x 4 1 - x 2 dx = 0 3 4 x 2 + 1 2 1 - x 2 dx = 0 3 4 x 2 + 1 1 - x 2 dx = 0 3 4 2 1 - x 2 - 1 dx = 2 0 3 4 1 1 + x 1 - x dx - 3 4 a 1 + x + b 1 - x = - a + b x + a + b 1 + x 1 - x a + b = 1 - a + b = 0 b = 1 2 a = 1 2 2 0 3 4 1 1 + x 1 - x dx = 0 3 4 1 1 + x + 1 1 - x dx = log 1 + x - log 1 - x 0 3 4 = log 7 4 - log 1 4 = log 7

    よって、求める曲線の長さは、

    log 7 - 3 4

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log

x = symbols('x')

f = log(1 - x ** 2)
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, 0, Rational(3, 4)))

I1 = I.doit()
I2 = I1.doit()
for o in [I, I1, I2]:
    pprint(o)
    print()

I = Integral((x ** 2 + 1) / (1 - x ** 2), (x, 0, Rational(3, 4)))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()
p = plot((f, (x, -0.9, 0)),
         (f, (x, 0, Rational(3, 4))),
         (f, (x, Rational(3, 4), 0.9)),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample9.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

iMac:曲線の長さ kamimura$ python3 sample9.py
3/4                                   
 ⌠                                    
 ⎮       __________________________   
 ⎮      ╱                    2        
 ⎮     ╱  ⎛d ⎛   ⎛   2    ⎞⎞⎞         
 ⎮    ╱   ⎜──⎝log⎝- x  + 1⎠⎠⎟  + 1  dx
 ⎮  ╲╱    ⎝dx               ⎠         
 ⌡                                    
 0                                    

3/4                            
 ⌠                             
 ⎮         _________________   
 ⎮        ╱        2           
 ⎮       ╱      4⋅x            
 ⎮      ╱   ─────────── + 1  dx
 ⎮     ╱              2        
 ⎮    ╱     ⎛   2    ⎞         
 ⎮  ╲╱      ⎝- x  + 1⎠         
 ⌡                             
 0                             

3/4                            
 ⌠                             
 ⎮         _________________   
 ⎮        ╱        2           
 ⎮       ╱      4⋅x            
 ⎮      ╱   ─────────── + 1  dx
 ⎮     ╱              2        
 ⎮    ╱     ⎛   2    ⎞         
 ⎮  ╲╱      ⎝- x  + 1⎠         
 ⌡                             
 0                             

3/4              
 ⌠               
 ⎮   ⎛ 2    ⎞    
 ⎮  -⎝x  + 1⎠    
 ⎮  ────────── dx
 ⎮     2         
 ⎮    x  - 1     
 ⌡               
 0               

-3/4 + log(7)

$

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