数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(指数関数)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_{-1}^0\sqrt{1+{\left(\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)\right)\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{-1}{\overset{0}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+\frac{1}{4}{\left(e^x-e^{-x}\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{-1}{\overset{0}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+\frac{1}{4}\left(e^{2x}+e^{-2x}-2\right)}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{0}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{2+e^{2x}+e^{-2x}}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_{-1}^0\sqrt{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{0}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(e^x+e^{-x}\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}{\left[e^x-e^{-x}\right]}_{-1}^0\\ =\frac{1}{2}\left(e-e^{-1}\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import exp

x = symbols('x')

f = Rational(1, 2) * (exp(x) + exp(-x))
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, -1, 0))

I1 = I.doit()
I2 = I1.doit()
for o in [I, I1, I2]:
    pprint(o)
    print()

p = plot((f, (x, -2, -1)),
         (f, (x, -1, 0)),
         (f, (x, 0, 2)),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample10.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample10.py
0                                
⌠                                
⎮        _____________________   
⎮       ╱               2        
⎮      ╱  ⎛  ⎛ x    -x⎞⎞         
⎮     ╱   ⎜d ⎜ℯ    ℯ  ⎟⎟         
⎮    ╱    ⎜──⎜── + ───⎟⎟  + 1  dx
⎮  ╲╱     ⎝dx⎝2     2 ⎠⎠         
⌡                                
-1                               

0                          
⌠                          
⎮     __________________   
⎮    ╱  2⋅x        -2⋅x    
⎮  ╲╱  ℯ    + 2 + ℯ      dx
⌡                          
-1                         
───────────────────────────
             2             

0                          
⌠                          
⎮     __________________   
⎮    ╱  2⋅x        -2⋅x    
⎮  ╲╱  ℯ    + 2 + ℯ      dx
⌡                          
-1                         
───────────────────────────
             2             

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