数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(微分、平方根、置換積分法)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^4\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^2}\mathrm{dx}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^4\sqrt{1+{\left(\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}\right)}^2}\mathrm{dx}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^4\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\mathrm{dx}\\ t=1+\frac{9}{4}x\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{9}{4}\\ x=0,t=1\\ x=4,t=10\\ \underset{1}{\overset{10}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{t}^{\frac{1}{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{4}{9}\mathrm{dt}\\ =\frac{4}{9}{\left[\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^{10}\\ =\frac{8}{27}\left(10^{\frac{3}{2}}-1\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational

print('1.')

x = symbols('x')

f = x ** Rational(3, 2)
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, 0, 4))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

p = plot((f, (x, -5, 0)), (f, (x, 0, 4)), (f, (x, 4, 5)),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample1.png')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ python3 sample1.py
1.
4                          
⌠                          
⎮      _________________   
⎮     ╱           2        
⎮    ╱  ⎛d ⎛ 3/2⎞⎞         
⎮   ╱   ⎜──⎝x   ⎠⎟  + 1  dx
⎮ ╲╱    ⎝dx      ⎠         
⌡                          
0                          

  8    80⋅√10
- ── + ──────
  27     27  

$