数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(極座標表示、累乗(べき乗、平方)、平方根)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題14の解答を求めてみる。

14. 
    
    $\begin{array}{}{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)}^2\\ ={\left(\frac{dr}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+{\left(\frac{dr}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2\\ ={\left(\frac{dr}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)}^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-2r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\frac{dr}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}+r^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ +{\left(\frac{dr}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)}^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+2r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\frac{dr}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}+r^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =r^2+{\left(\frac{dr}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)}^2\end{array}$

    求める曲線の長さ。

    $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^2\sqrt{{\left(3{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(3{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2\right)\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_1^2\sqrt{9{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^4+{\left(6\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_1^2\sqrt{9{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^4+36{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_1^{2}3\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+4}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\left[\frac{3}{2}\frac{2}{3}{\left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+4\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^2\\ =8^{\frac{3}{2}}-5^{\frac{3}{2}}\\ ={\left(2\sqrt{2}\right)}^3-5^{\frac{3}{2}}\\ =16\sqrt{2}-5^{\frac{3}{2}}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, cos, sin
from sympy import pi, Rational
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 3 * theta ** 2
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(Derivative(x, theta, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, theta, 1) ** 2), (theta, 1, 2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), 8 ** Rational(3, 2) - 5 ** Rational(3, 2)]:
    print(float(o))

p = plot_parametric((x, y, (theta, -4 * pi, 1)),
                    (x, y, (theta, 1, 2)),
                    (x, y, (theta, 2, 4 * pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample14.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample14.py
2                                                  
⌠                                                  
⎮      _________________________________________   
⎮     ╱                  2                    2    
⎮    ╱  ⎛d ⎛   2       ⎞⎞    ⎛d ⎛   2       ⎞⎞     
⎮   ╱   ⎜──⎝3⋅θ ⋅sin(θ)⎠⎟  + ⎜──⎝3⋅θ ⋅cos(θ)⎠⎟   dθ
⎮ ╲╱    ⎝dθ             ⎠    ⎝dθ             ⎠     
⌡                                                  
1                                                  

  2                    
  ⌠                    
  ⎮    _____________   
  ⎮   ╱  2 ⎛ 2    ⎞    
3⋅⎮ ╲╱  θ ⋅⎝θ  + 4⎠  dθ
  ⌡                    
  1                    

11.447077110470572
11.447077110470572
$