2019年1月25日金曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題14の解答を求めてみる。


  1. d d θ r cos θ 2 + d d θ r sin θ 2 = d r d θ cos θ - r sin θ 2 + d r d θ sin θ + r cos θ 2 = d r d θ 2 cos 2 θ - 2 r sin θ cos θ d r d θ + r 2 sin 2 θ + d r d θ 2 sin 2 θ + 2 r cos θ sin θ d r d θ + r 2 cos 2 θ = r 2 + d r d θ 2

    求める曲線の長さ。

    1 2 3 θ 2 2 + d d θ 3 θ 2 2 d θ = 1 2 9 θ 4 + 6 θ 2 d θ = 1 2 9 θ 4 + 36 θ 2 d θ = 1 2 3 θ θ 2 + 4 d θ = 3 2 2 3 θ 2 + 4 3 2 1 2 = 8 3 2 - 5 3 2 = 2 2 3 - 5 3 2 = 16 2 - 5 3 2

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, cos, sin
from sympy import pi, Rational
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 3 * theta ** 2
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(Derivative(x, theta, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, theta, 1) ** 2), (theta, 1, 2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), 8 ** Rational(3, 2) - 5 ** Rational(3, 2)]:
    print(float(o))

p = plot_parametric((x, y, (theta, -4 * pi, 1)),
                    (x, y, (theta, 1, 2)),
                    (x, y, (theta, 2, 4 * pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample14.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample14.py
2                                                  
⌠                                                  
⎮      _________________________________________   
⎮     ╱                  2                    2    
⎮    ╱  ⎛d ⎛   2       ⎞⎞    ⎛d ⎛   2       ⎞⎞     
⎮   ╱   ⎜──⎝3⋅θ ⋅sin(θ)⎠⎟  + ⎜──⎝3⋅θ ⋅cos(θ)⎠⎟   dθ
⎮ ╲╱    ⎝dθ             ⎠    ⎝dθ             ⎠     
⌡                                                  
1                                                  

  2                    
  ⌠                    
  ⎮    _____________   
  ⎮   ╱  2 ⎛ 2    ⎞    
3⋅⎮ ╲╱  θ ⋅⎝θ  + 4⎠  dθ
  ⌡                    
  1                    

11.447077110470572
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