2019年1月22日火曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題2の解答を求めてみる。


  1. x = x 1 , , x n y = y 1 , , y n z = z 1 , , z a

    を連立1次同次方程式の解とする。

    x 1 + y 1 A 1 + + x n + y n A n = x 1 A 1 + + x n A n + y 1 A 1 + + y n A n = O + O = O a K a x 1 A 1 + + a x n A n = a x 1 A 1 + + x n A n = a O = O

    よって、和とスカラー倍について閉じている。

    x + y + z = x 1 + y 1 , , x n + y n + z = x 1 + y 1 + z 1 , , x n + y n + z n = x + y 1 + z 1 , , y n + z n = x + y + z

    よって、和の結合律は成り立つ。

    x + y = x 1 + y 1 , , x n + y n = y 1 + x 1 , , y n + x n = y + x

    よって和は可換である。

    0 A 1 + + 0 A n = O

    よって、

    0 , , 0

    は解集合の元で、これを O とおけば、

    O + x = x x + O = x

    和の逆元について。

    - x 1 A 1 + + - x n A n = - x 1 A 1 + + x n A n = O

    よって、

    - x

    は解の集合の元で、

    x + - x = - x + x = O

    a、 b を任意の体 K の元とする

    a x + y = a x 1 + y 1 , , a x n + y n = a x 1 + a y 1 , , a x n + a y n = a x 1 , , a x n + a y 1 , , a y n = a x + a y a + b x = a + b x 1 , , a + b x n = a x 1 , , a x n + b x 1 , , b x n = a x + b x a b x = a b x 1 , , a b x n = a b x 1 , , b x n = a b x 1 x = x 1 , , x n = x

    よって、体 K における n 未知数の連立1次同次方程式の解の集合は K の上のベクトル空間をなす。

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