数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - 変数変換定理(空間極座標(球座標)、三角関数(正弦、余弦)、ヤコビ行列式)

解析入門(下)
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解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(c).を取り組んでみる。

3. 
   
   3. 
      
      $\begin{array}{}s=\frac{x}{a}\\ t=\frac{y}{b}\\ u=\frac{z}{c}\end{array}$

      とおく。

      ヤコビ行列式の値を求める。

      $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(x,y,z\right)}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(s,t,u\right)}\\ =\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->s}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->t}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->u}\\ \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}{os}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->t}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->u}\\ \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->s}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->t}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->u}\end{array}\right|\\ =\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right|\\ =abc\end{array}$

      よって、変数変換の定理より、

      $\begin{array}{}\underset{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1}{\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->}\left(x^2+y^2+z^2\right)\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\\ =\underset{s^2+t^2+u^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1}{\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->}\left(a^2{s}^2+b^2{t}^2+c^2{u}^2\right)abcds\mathrm{dt}du\\ =abc\underset{s^2+t^2+u^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1}{\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->}\left(a^2{s}^2+b^2{t}^2+c^2{u}^2\right)ds\mathrm{dt}du\end{array}$

      また、対称性により、

      $\begin{array}{}\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->\left(a^2{s}^2+b^2{t}^2+c^2{u}^2\right)ds\mathrm{dt}du\\ =\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->\left(b^2{s}^2+c^2{t}^2+a^2{u}^2\right)ds\mathrm{dt}du\\ =\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->\left(c^2{s}^2+a^2{t}^2+b^2{u}^2\right)ds\mathrm{dt}du\end{array}$

      が成り立つので、

      $\begin{array}{}\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->\left(a^2{s}^2+b^2{t}^2+c^2{u}^2\right)ds\mathrm{dt}du\\ =\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->\left(s^2+t^2+u^2\right)ds\mathrm{dt}du\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{}abc\underset{s^2+t^2+u^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1}{\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->}\left(a^2{s}^2+b^2{t}^2+c^2{u}^2\right)ds\mathrm{dt}du\\ =\frac{1}{3}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\underset{s^2+t^2+u^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1}{\iiint \; <!--\; triple\; integral\; -->}\left(s^2+t^2+u^2\right)ds\mathrm{dt}du\end{array}$

      s、 t、 u を空間極座標に変換する。

      $\begin{array}{}s=r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ t=r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ u=r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\end{array}$

      ヤコビ行列式の値を求める。

      $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(s,t,u\right)}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(r,\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->},\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)}\\ =\left|\begin{array}{ccc}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& -r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ \sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& -r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& 0\end{array}\right|\\ =r^2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\left|\begin{array}{ccc}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& -\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ \sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}& \cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& -\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& 0\end{array}\right|\end{array}$

      行列式について、

      $\begin{array}{}{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\cos }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\cos }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ ={\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\left({\cos }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\left({\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+{\cos }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\\ ={\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =1\end{array}$

      よって、ヤコビ行列式の値は、

      $r^2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}$

      よって、求める積分の値は、

      $\begin{array}{}\frac{1}{3}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(r^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\cos }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+r^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+r^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)r^2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}dr\\ =\frac{1}{3}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{r}^2{r}^2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}dr\\ =\frac{1}{3}abc\left(a^2+b^2+c^2\right){\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1{r}^{4}dr\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\frac{1}{3}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{1}{5}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =\frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{15}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos, Rational

print('3-(c).')

r, theta, phi, a, b, c = symbols('r, theta, phi, a, b, c')

I = Rational(1, 3) * a * b * c * (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) * \
    Integral(
        Integral(
            Integral(
                (r ** 2 * sin(theta) ** 2 * cos(phi) ** 2 +
                 r ** 2 * sin(theta) ** 2 * sin(phi) ** 2 +
                 r ** 2 * cos(theta) ** 2) *
                r ** 2 * sin(theta),
                (phi, 0, 2 * pi)),
            (theta, 0, pi)),
        (r, 0, 1))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3-(c).
                     1 π 2⋅π                                                  
                     ⌠ ⌠  ⌠                                                   
      ⎛ 2    2    2⎞ ⎮ ⎮  ⎮   2 ⎛ 2    2       2       2    2       2       2 
a⋅b⋅c⋅⎝a  + b  + c ⎠⋅⎮ ⎮  ⎮  r ⋅⎝r ⋅sin (φ)⋅sin (θ) + r ⋅sin (θ)⋅cos (φ) + r ⋅
                     ⌡ ⌡  ⌡                                                   
                     0 0  0                                                   
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                  3                           

                        
                        
   2   ⎞                
cos (θ)⎠⋅sin(θ) dφ dθ dr
                        
                        
────────────────────────
                        

          ⎛ 2    2    2⎞
4⋅π⋅a⋅b⋅c⋅⎝a  + b  + c ⎠
────────────────────────
           15           

$