2018年12月8日土曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(c).を取り組んでみる。



    1. s = x a t = y b u = z c

      とおく。

      ヤコビ行列式の値を求める。

      x , y , z s , t , u = | x s x t x u y o s y t y u z s z t z u | = | a 0 0 0 b 0 0 0 c | = a b c

      よって、変数変換の定理より、

      x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 1 x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz = s 2 + t 2 + u 2 1 a 2 s 2 + b 2 t 2 + c 2 u 2 a b c d s dt d u = a b c s 2 + t 2 + u 2 1 a 2 s 2 + b 2 t 2 + c 2 u 2 d s dt d u

      また、対称性により、

      a 2 s 2 + b 2 t 2 + c 2 u 2 d s dt d u = b 2 s 2 + c 2 t 2 + a 2 u 2 d s dt d u = c 2 s 2 + a 2 t 2 + b 2 u 2 d s dt d u

      が成り立つので、

      a 2 s 2 + b 2 t 2 + c 2 u 2 d s dt d u = 1 3 a 2 + b 2 + c 2 s 2 + t 2 + u 2 d s dt d u

      よって、

      a b c s 2 + t 2 + u 2 1 a 2 s 2 + b 2 t 2 + c 2 u 2 d s dt d u = 1 3 a b c a 2 + b 2 + c 2 s 2 + t 2 + u 2 1 s 2 + t 2 + u 2 d s dt d u

      s、 t、 u を空間極座標に変換する。

      s = r sin θ cos φ t = r sin θ sin φ u = r cos θ 0 r 1 0 θ π 0 φ 2 π

      ヤコビ行列式の値を求める。

      s , t , u r , θ , φ = | sin θ cos φ r cos θ cos φ - r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ - r sin θ 0 | = r 2 sin θ | sin θ cos φ cos θ cos φ - sin φ sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ cos θ - sin θ 0 |

      行列式について、

      cos 2 θ cos 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ + sin 2 θ cos 2 φ + cos 2 θ sin 2 φ = cos 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1

      よって、ヤコビ行列式の値は、

      r 2 sin θ

      よって、求める積分の値は、

      1 3 a b c a 2 + b 2 + c 2 0 1 0 π 0 2 π r 2 sin 2 θ cos 2 φ + r 2 sin 2 θ sin 2 φ + r 2 cos 2 θ r 2 sin θ d φ d θ d r = 1 3 a b c a 2 + b 2 + c 2 0 1 0 π 0 2 π r 2 r 2 sin θ d φ d θ d r = 1 3 a b c a 2 + b 2 + c 2 0 1 r 4 d r 0 π sin θ d θ 0 2 π 1 d φ = 1 3 a b c a 2 + b 2 + c 2 1 5 · 2 · 2 π = 4 π 15 a b c a 2 + b 2 + c 2

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos, Rational

print('3-(c).')

r, theta, phi, a, b, c = symbols('r, theta, phi, a, b, c')

I = Rational(1, 3) * a * b * c * (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) * \
    Integral(
        Integral(
            Integral(
                (r ** 2 * sin(theta) ** 2 * cos(phi) ** 2 +
                 r ** 2 * sin(theta) ** 2 * sin(phi) ** 2 +
                 r ** 2 * cos(theta) ** 2) *
                r ** 2 * sin(theta),
                (phi, 0, 2 * pi)),
            (theta, 0, pi)),
        (r, 0, 1))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3-(c).
                     1 π 2⋅π                                                  
                     ⌠ ⌠  ⌠                                                   
      ⎛ 2    2    2⎞ ⎮ ⎮  ⎮   2 ⎛ 2    2       2       2    2       2       2 
a⋅b⋅c⋅⎝a  + b  + c ⎠⋅⎮ ⎮  ⎮  r ⋅⎝r ⋅sin (φ)⋅sin (θ) + r ⋅sin (θ)⋅cos (φ) + r ⋅
                     ⌡ ⌡  ⌡                                                   
                     0 0  0                                                   
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                  3                           

                        
                        
   2   ⎞                
cos (θ)⎠⋅sin(θ) dφ dθ dr
                        
                        
────────────────────────
                        

          ⎛ 2    2    2⎞
4⋅π⋅a⋅b⋅c⋅⎝a  + b  + c ⎠
────────────────────────
           15           

$

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