数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(有理数、複素数、体、加法と乗法(和と積)、単位元と逆元)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題8.を取り組んでみる。

8. 
   

   任意の有理数

   $a,b,c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}$

   に対して、

   $\begin{array}{}\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\\ a+c,b+d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\\ \left(a+bi\right)\left(c+di\right)\\ =\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i\\ ac-bd,ad+bc\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、加法、乗法について閉じている。

   $\begin{array}{}-\left(a+bi\right)\\ =-a-bi\\ -a,-b\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\\ a+bi\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ \frac{1}{a+bi}\\ =\frac{a+bi}{a^2-b^2}\\ =\frac{a}{a^2-b^2}+\frac{b}{a^2-b^2}i\\ \frac{a}{a^2-b^2},\frac{b}{a^2-b^2}\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、加法、乗法の逆元を含む。

   $\begin{array}{}0=0+0i\\ 0\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\\ 1=1+0i\\ 1,0\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、加法、手法の単位元を含む。

   ゆえに体である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I

print('8.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', rational=True)
x = a + b * I
y = c + d * I

for t in [x, y, x + y, x * y, x ** -1, - x,
          1 / (1 + 2 * I) * (1 - 2 * I) / (1 - 2 * I)]:
    for s in [t.expand(), t.as_real_imag()]:
        pprint(t)
        print()
    for s in t.as_real_imag():
        print(s.is_rational)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
a + ⅈ⋅b

a + ⅈ⋅b

True

True


c + ⅈ⋅d

c + ⅈ⋅d

True

True


a + ⅈ⋅b + c + ⅈ⋅d

a + ⅈ⋅b + c + ⅈ⋅d

True

True


(a + ⅈ⋅b)⋅(c + ⅈ⋅d)

(a + ⅈ⋅b)⋅(c + ⅈ⋅d)

True

True


   1   
───────
a + ⅈ⋅b

   1   
───────
a + ⅈ⋅b

None

None


-a - ⅈ⋅b

-a - ⅈ⋅b

True

True


         2          
(1 - 2⋅ⅈ) ⋅(1 + 2⋅ⅈ)
────────────────────
         25         

         2          
(1 - 2⋅ⅈ) ⋅(1 + 2⋅ⅈ)
────────────────────
         25         

True

True


$