数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(実数体上、複素数体上、一次独立)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\left(c_1,c_1+c_2,c_1-c_2\right)=\left(0,0,0\right)\\ c_1=0\\ c_2=0\end{array}$

      よって、実数体、複素数体上で1次独立。

   2. 
      
      $\begin{array}{}\left(x_1+x_2,x_2\right)=\left(0,0\right)\\ x_2=0\\ x_1=0\end{array}$

      よって、実数体、複素数体上で1次独立。

   3. 
      
      $\begin{array}{}-x_1=0\\ x_1=0\\ x_2=0\end{array}$

      よって、 実数体、複素数体上で1次独立。

   4. 
      
      $\begin{array}{}2x_1+x_2=0\\ -x_1=0\\ x_1=0\\ x_2=0\end{array}$

      よって、 実数体、複素数体上で1次独立。

   5. 
      
      $\begin{array}{}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{x}_1=0\\ x_1=0\\ x_2=0\end{array}$

      よって、 実数体、複素数体上で1次独立。

   6. 
      
      $\begin{array}{}{x}_1+x_2=0\\ 2x_1+3x_2=0\\ x_2=-x_1\\ 2x_1-3x_1=0\\ x_2=0\\ x_2=0\end{array}$

      よって、 実数体、複素数体上で1次独立。

   7. 
      
      $\begin{array}{}{x}_1+x_2=0\\ x_2=-x_1\\ x_1-x_1+x_3=0\\ x_3=0\\ -x_1=0\\ x_1=0\\ x_2=0\end{array}$

      よって、 実数体、複素数体上で1次独立。

   8. 
      
      $\begin{array}{}{x}_3=0\\ x_1+2x_2=0\\ x_1+x_2=0\\ x_2=0\\ x_1=0\end{array}$

      よって、 実数体、複素数体上で1次独立。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, pi, Matrix, solve

print('1.')

tss = [((1, 1, 1), (0, 1, -1)),
       ((1, 0), (1, 1)),
       ((-1, 1, 0), (0, 1, 2)),
       ((2, -1), (1, 0)),
       ((pi, 0), (0, 1)),
       ((1, 2), (1, 3)),
       ((1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, -1)),
       ((0, 1, 1), (0, 2, 1), (1, 5, 3))]


for i, ts in enumerate(tss):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    xs = symbols([f'x{j + 1}' for j, _ in enumerate(ts)])
    ms = [Matrix(t) for t in ts]
    xms = [x * v for x, v in zip(xs, ms)]
    s = Matrix([0 for _ in enumerate(ms[0])])
    pprint(solve(xms, *xs, dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
(a)
[{x₁: 0, x₂: 0}]

(b)
[{x₁: 0, x₂: 0}]

(c)
[{x₁: 0, x₂: 0}]

(d)
[{x₁: 0, x₂: 0}]

(e)
[{x₁: 0, x₂: 0}]

(f)
[{x₁: 0, x₂: 0}]

(g)
[{x₁: 0, x₂: 0, x₃: 0}]

(h)
[{x₁: 0, x₂: 0, x₃: 0}]

$