2018年12月18日火曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題7.を取り組んでみる。


  1. 任意の有理数

    a , b , c , d

    に対して、

    a + b 2 + c + d 2 = a + c + b + d 2 a + c , b + d

    よって、 和について 閉じている。

    また、

    a + b 2 c + d 2 = a c + 2 b d + a d + b c 2 a c + 2 b d , a d + b c

    よって、 積について閉じている。

    - a + b 2 = - a - b 2 - a , - b

    よって、 和の逆元は K に含まれる。

    1 a + b 2 = a - b 2 a 2 - 2 b 2 = a a 2 - 2 b 2 + - b a 2 - 2 b 2 2 a a 2 - 2 b 2 , - b n 2 - 2 b 2

    よって、 積の逆元は K に含まれる。

    0 = 0 + 0 2 0

    よって零は K に含まれる。

    1 = 1 + 0 2 1 , 0

    よって1は K に含まれる。

    ゆえに、 K は体である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt

print('7.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', rational=True)
x = a + b * sqrt(2)
y = c + d * sqrt(2)

for t in [x, y, x + y, x * y, x ** -1, - x]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
a + √2⋅b

c + √2⋅d

a + √2⋅b + c + √2⋅d

a⋅c + √2⋅a⋅d + √2⋅b⋅c + 2⋅b⋅d

   1    
────────
a + √2⋅b

-a - √2⋅b

$

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