数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(有理数、無理数、体、加法と乗法(和と積)、単位元と逆元)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   任意の有理数

   $a,b,c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}$

   に対して、

   $\begin{array}{}\left(a+b\sqrt{2}\right)+\left(c+d\sqrt{2}\right)\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\sqrt{2}\\ a+c,b+d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、 和について 閉じている。

   また、

   $\begin{array}{}\left(a+b\sqrt{2}\right)\left(c+d\sqrt{2}\right)\\ =\left(ac+2bd\right)+\left(ad+bc\right)\sqrt{2}\\ ac+2bd,ad+bc\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、 積について閉じている。

   $\begin{array}{}-\left(a+b\sqrt{2}\right)\\ =-a-b\sqrt{2}\\ -a,-b\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、 和の逆元は K に含まれる。

   $\begin{array}{}\frac{1}{a+b\sqrt{2}}\\ =\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}\\ =\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\\ \frac{a}{a^2-2b^2},\frac{-b}{n^2-2b^2}\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、 積の逆元は K に含まれる。

   $\begin{array}{}0=0+0\sqrt{2}\\ 0\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって零は K に含まれる。

   $\begin{array}{}1=1+0\sqrt{2}\\ 1,0\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって1は K に含まれる。

   ゆえに、 K は体である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt

print('7.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', rational=True)
x = a + b * sqrt(2)
y = c + d * sqrt(2)

for t in [x, y, x + y, x * y, x ** -1, - x]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
a + √2⋅b

c + √2⋅d

a + √2⋅b + c + √2⋅d

a⋅c + √2⋅a⋅d + √2⋅b⋅c + 2⋅b⋅d

   1    
────────
a + √2⋅b

-a - √2⋅b

$