数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - 変数変換定理(球面の内側、円錐面の外側、体積、空間極座標、積分、三角関数(余弦、正弦)、累乗(べき乗))

解析入門(下)
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   空間極座標に変換する。

   $r,\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}$

   の値の範囲を考える。

   $\begin{array}{}0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\\ {\left(r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)}^2+{\left(r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)}^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2\\ {\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\cos }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ {\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\\ r^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\cos }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+r^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+r^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ r^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+r^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ r^2=r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ r=\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}$

   よって、求める問題の球面の内側 にあって、円錐面の上側にある部分の体積は、

   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{r}^2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}drd\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\left[r^3\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\frac{1}{3}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\cos }^3\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{4}\right){\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\left[{\cos }^4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =-\frac{1}{12}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\left(\frac{1}{4}-1\right)d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\left(-\frac{1}{12}\right)\left(-\frac{3}{4}\right){\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}1d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\frac{1}{16}2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{8}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos

print('6.')

r, theta, phi = symbols('r, θ, φ')

I = Integral(Integral(Integral(r ** 2 * sin(theta), (r, 0, cos(theta))),
                      (theta, 0, pi / 4)),
             (phi, 0, 2 * pi))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
6.
    π                          
    ─                          
2⋅π 4 cos(θ)                   
 ⌠  ⌠   ⌠                      
 ⎮  ⎮   ⎮     2                
 ⎮  ⎮   ⎮    r ⋅sin(θ) dr dθ dφ
 ⌡  ⌡   ⌡                      
 0  0   0                      

π
─
8

$