2018年12月19日水曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.3(広義の積分)、問題1-(a).を取り組んでみる。



    1. 空間極座標に 変数変換して考える。

      p n n 0 < p n < 1 lim n p n = 0

      となる数列を考える。

      p n r 1

      という不等式を満たす範囲で考える。

      0 2 π 0 π p n 1 r 2 sin θ r α d r d θ d φ = p n 1 r 2 - α d r 0 π sin θ d θ 0 2 π 1 d φ = 1 3 - α r 3 - α p n 1 - cos θ 0 π 2 π = 2 π 3 - α 1 - p n 3 - α 1 + 1 = 4 π 3 - α 1 - p n 3 - α

      よって、

      0 < α < 3

      ならば 、

      p n 0

      のとき

      p n 3 - α 0

      なので、 積分は

      4 π 3 - α

      に収束する。

      また、

      α = 3

      なら ば、

      p n 1 1 r d r = log r p n 1 = - log p n

      となり

      p n 0

      のとき、

      - log p n -

      なので 発散する。

      また、

      α > 3

      ならば、

      p n 0

      のとき、

      p n 3 - α

      なので発散する。

      よって、 問題の積分は、

      0 < α < 3

      ならば収束し、

      α 3

      ならば発散する。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos, Limit, log

print('1-(a).')

r, theta, phi, p = symbols('r, θ, φ, p')
alpha = symbols('α', positive=True)
I = Integral(Integral(Integral(r ** 2 * sin(theta) / r ** alpha, (r, p, 1)),
                      (theta, 0, pi)),
             (phi, 0, 2 * pi))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

l1 = Limit(4 * pi * p ** (-alpha) * (p ** 3 - p ** alpha) / (alpha - 3), p, 0)
l2 = Limit(-4 * pi * log(p), p, 0)
for l in [l1, l2]:
    for t in [l, l.doit()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

for alpha0 in [1, 2, 4, 5]:
    l = l1.subs({alpha: alpha0})
    for t in [l, l.doit()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1-(a).
2⋅π π 1                        
 ⌠  ⌠ ⌠                        
 ⎮  ⎮ ⎮  -α + 2                
 ⎮  ⎮ ⎮ r      ⋅sin(θ) dr dθ dφ
 ⌡  ⌡ ⌡                        
 0  0 p                        

⎧     -α ⎛ 3    α⎞           
⎪4⋅π⋅p  ⋅⎝p  - p ⎠           
⎪─────────────────  for α ≠ 3
⎨      α - 3                 
⎪                            
⎪   -4⋅π⋅log(p)     otherwise
⎩                            

     ⎛     -α ⎛ 3    α⎞⎞
     ⎜4⋅π⋅p  ⋅⎝p  - p ⎠⎟
 lim ⎜─────────────────⎟
p─→0⁺⎝      α - 3      ⎠

-4⋅π 
─────
α - 3


 lim (-4⋅π⋅log(p))
p─→0⁺             

∞


     ⎛     ⎛ 3    ⎞ ⎞
     ⎜-2⋅π⋅⎝p  - p⎠ ⎟
 lim ⎜──────────────⎟
p─→0⁺⎝      p       ⎠

2⋅π


     ⎛     ⎛ 3    2⎞ ⎞
     ⎜-4⋅π⋅⎝p  - p ⎠ ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
p─→0⁺⎜        2      ⎟
     ⎝       p       ⎠

4⋅π


     ⎛    ⎛   4    3⎞⎞
     ⎜4⋅π⋅⎝- p  + p ⎠⎟
 lim ⎜───────────────⎟
p─→0⁺⎜        4      ⎟
     ⎝       p       ⎠

∞


     ⎛    ⎛   5    3⎞⎞
     ⎜2⋅π⋅⎝- p  + p ⎠⎟
 lim ⎜───────────────⎟
p─→0⁺⎜        5      ⎟
     ⎝       p       ⎠

∞


$

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