数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - 広義の積分(球体の内側、空間極座標、収束、発散、数列、極限)

解析入門(下)
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解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.3(広義の積分)、問題1-(a).を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      

      空間極座標に 変数変換して考える。

      $\begin{array}{}{\left(p_n\right)}_{n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}\\ 0<p_n<1\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{p}_n=0\end{array}$

      となる数列を考える。

      $p_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1$

      という不等式を満たす範囲で考える。

      $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}_{p_n}^1\frac{r^2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{r^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}drd\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\underset{p_n}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{r}^{2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}dr\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\frac{1}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\left[r^{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right]}_{\left(p_n\right)}^1{\left[-\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\left(1-p_n^{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)\left(1+1\right)\\ =\frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\left(1-p_n^{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)\end{array}$

      よって、

      $0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<3$

      ならば 、

      $p_n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0$

      のとき

      $p_n^{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0$

      なので、 積分は

      $\frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}$

      に収束する。

      また、

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=3$

      なら ば、

      $\begin{array}{}\underset{p_n}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{r}dr\\ ={\left[\log r\right]}_{\left(p_n\right)}^1\\ =-\log p_n\end{array}$

      となり

      $p_n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0$

      のとき、

      $-\log p_n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

      なので 発散する。

      また、

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}>3$

      ならば、

      $p_n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0$

      のとき、

      $p_n^{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

      なので発散する。

      よって、 問題の積分は、

      $0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<3$

      ならば収束し、

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->3$

      ならば発散する。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos, Limit, log

print('1-(a).')

r, theta, phi, p = symbols('r, θ, φ, p')
alpha = symbols('α', positive=True)
I = Integral(Integral(Integral(r ** 2 * sin(theta) / r ** alpha, (r, p, 1)),
                      (theta, 0, pi)),
             (phi, 0, 2 * pi))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

l1 = Limit(4 * pi * p ** (-alpha) * (p ** 3 - p ** alpha) / (alpha - 3), p, 0)
l2 = Limit(-4 * pi * log(p), p, 0)
for l in [l1, l2]:
    for t in [l, l.doit()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

for alpha0 in [1, 2, 4, 5]:
    l = l1.subs({alpha: alpha0})
    for t in [l, l.doit()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1-(a).
2⋅π π 1                        
 ⌠  ⌠ ⌠                        
 ⎮  ⎮ ⎮  -α + 2                
 ⎮  ⎮ ⎮ r      ⋅sin(θ) dr dθ dφ
 ⌡  ⌡ ⌡                        
 0  0 p                        

⎧     -α ⎛ 3    α⎞           
⎪4⋅π⋅p  ⋅⎝p  - p ⎠           
⎪─────────────────  for α ≠ 3
⎨      α - 3                 
⎪                            
⎪   -4⋅π⋅log(p)     otherwise
⎩                            

     ⎛     -α ⎛ 3    α⎞⎞
     ⎜4⋅π⋅p  ⋅⎝p  - p ⎠⎟
 lim ⎜─────────────────⎟
p─→0⁺⎝      α - 3      ⎠

-4⋅π 
─────
α - 3


 lim (-4⋅π⋅log(p))
p─→0⁺             

∞


     ⎛     ⎛ 3    ⎞ ⎞
     ⎜-2⋅π⋅⎝p  - p⎠ ⎟
 lim ⎜──────────────⎟
p─→0⁺⎝      p       ⎠

2⋅π


     ⎛     ⎛ 3    2⎞ ⎞
     ⎜-4⋅π⋅⎝p  - p ⎠ ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
p─→0⁺⎜        2      ⎟
     ⎝       p       ⎠

4⋅π


     ⎛    ⎛   4    3⎞⎞
     ⎜4⋅π⋅⎝- p  + p ⎠⎟
 lim ⎜───────────────⎟
p─→0⁺⎜        4      ⎟
     ⎝       p       ⎠

∞


     ⎛    ⎛   5    3⎞⎞
     ⎜2⋅π⋅⎝- p  + p ⎠⎟
 lim ⎜───────────────⎟
p─→0⁺⎜        5      ⎟
     ⎝       p       ⎠

∞


$